а) Решите уравнение: 2 tg x · cos 2x + 2 tg x · sin^2 x + sin 2x = 2√3 sin (π/2 - 2x) + 2√3.

Привет! Давай разберем это тригонометрическое уравнение шаг за шагом. Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ): так как в уравнении есть тангенс, $\cos x \neq 0$, то есть $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$. \n\nа) Решение уравнения:\n1. Преобразуем левую часть. Заметим, что $2 \operatorname{tg} x \cdot \cos 2x + 2 \operatorname{tg} x \cdot \sin^2 x = 2 \operatorname{tg} x (\cos 2x + \sin^2 x)$. Используя формулу $\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$, получим $\cos 2x + \sin^2 x = \cos^2 x$. Тогда выражение превращается в $2 \operatorname{tg} x \cdot \cos^2 x = 2 \sin x \cos x = \sin 2x$. \n2. Исходное уравнение принимает вид: $\sin 2x + \sin 2x = 2\sqrt{3} \cos 2x + 2\sqrt{3}$.\n3. $2 \sin 2x = 2\sqrt{3} (\cos 2x + 1)$. Сокращаем на 2: $\sin 2x = \sqrt{3} (\cos 2x + 1)$.\n4. Используем формулы двойного угла: $2 \sin x \cos x = \sqrt{3} (2 \cos^2 x - 1 + 1) = 2\sqrt{3} \cos^2 x$. \n5. $2 \sin x \cos x - 2\sqrt{3} \cos^2 x = 0 \implies 2 \cos x (\sin x - \sqrt{3} \cos x) = 0$. \n6. $\cos x = 0$ не подходит по ОДЗ. Значит, $\sin x - \sqrt{3} \cos x = 0$, откуда $\operatorname{tg} x = \sqrt{3}$, то есть $x = \frac{\pi}{3} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. \n\nб) Найдем корни на отрезке $[-2\pi; -\frac{\pi}{2}]$:\n- При $n = 0$: $x = \frac{\pi}{3} \approx 60^\circ$ (не входит).\n- При $n = -1$: $x = \frac{\pi}{3} - \pi = -\frac{2\pi}{3} \approx -120^\circ$ (входит, так как $-120^\circ > -180^\circ$).\n- При $n = -2$: $x = \frac{\pi}{3} - 2\pi = -\frac{5\pi}{3} \approx -300^\circ$ (входит, так как $-300^\circ > -360^\circ$).\n- При $n = -3$: $x = \frac{\pi}{3} - 3\pi = -\frac{8\pi}{3} \approx -480^\circ$ (не входит).\n\n**Ответ:** а) $x = \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$; б) $-\frac{2\pi}{3}, -\frac{5\pi}{3}$.