Точки M и N являются серединами сторон AB и BC треугольника ABC, сторона AB равна 28, сторона BC равна 19, сторона AC равна 34. Найдите MN.

### Решение задачи 15 Отрезок $MN$ является средней линией треугольника $ABC$, так как точки $M$ и $N$ — середины сторон $AB$ и $BC$ соответственно. По свойству средней линии, она параллельна стороне $AC$ и равна её половине: $MN = \frac{AC}{2} = \frac{34}{2} = 17$. **Ответ: 17** ### Решение задачи 16 1. Пусть стороны прямоугольника равны $a$ и $b$, а диагональ равна $d$. Диагональ прямоугольника является диаметром описанной около него окружности. По условию $d = 10$. 2. Синус угла $\alpha$ между стороной $a$ и диагональю $d$ равен $0,6$. Значит, $\sin \alpha = \frac{a}{d} = 0,6$. Тогда $a = d \cdot 0,6 = 10 \cdot 0,6 = 6$. 3. Найдем вторую сторону $b$ через теорему Пифагора: $b = \sqrt{d^2 - a^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8$. 4. Площадь прямоугольника $S = a \cdot b = 6 \cdot 8 = 48$. **Ответ: 48** ### Решение задачи 17 1. Дана равнобедренная трапеция $ABCD$ ($AD \parallel BC$). Угол $\angle D = 76^\circ$. Диагональ $AC$ образует со стороной $CD$ угол $49^\circ$, т.е. $\angle ACD = 49^\circ$. 2. Рассмотрим треугольник $ACD$. Сумма углов треугольника равна $180^\circ$. Угол $\angle CAD = 180^\circ - \angle D - \angle ACD = 180^\circ - 76^\circ - 49^\circ = 55^\circ$. 3. Так как $AD \parallel BC$, то накрест лежащие углы при параллельных прямых равны. Значит, $\angle BCA = \angle CAD = 55^\circ$. **Ответ: 55**