Докажите, что площадь треугольника выражается через радиусы его вневписанных окружностей как S = (rarbrc)/p.

Question

Вопрос:

Докажите, что площадь треугольника выражается через радиусы его вневписанных окружностей как S = (rarbrc)/p.

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

Для доказательства воспользуемся формулами для радиусов вневписанных окружностей $r_a$, $r_b$, $r_c$ треугольника со сторонами $a$, $b$, $c$, полупериметром $p$ и площадью $S$: $r_a = \frac{S}{p-a}$, $r_b = \frac{S}{p-b}$, $r_c = \frac{S}{p-c}$ Перемножим эти выражения: $r_a \cdot r_b \cdot r_c = \frac{S^3}{(p-a)(p-b)(p-c)}$ Вспомним формулу Герона для площади треугольника: $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$ Возведем обе части в квадрат: $S^2 = p(p-a)(p-b)(p-c)$ Отсюда выразим произведение разностей: $(p-a)(p-b)(p-c) = \frac{S^2}{p}$ Подставим полученное выражение в формулу для произведения радиусов: $r_a \cdot r_b \cdot r_c = \frac{S^3}{\frac{S^2}{p}} = S^3 \cdot \frac{p}{S^2} = S \cdot p$ Разделим обе части на $p$: $S = \frac{r_a r_b r_c}{p}$ Что и требовалось доказать.

Докажите, что площадь треугольника выражается через радиусы его вневписанных окружностей как S = (ra*rb*rc)/p.

Ответ ассистента

Другие решения

Докажите, что площадь треугольника выражается через радиусы его вневписанных окружностей как S = (rarbrc)/p.