4.236. Высота трапеции, диагонали которой взаимно перпендикулярны, равна 4. Найти площадь трапеции, если известно, что длина одной из её диагоналей равна 5.

Пусть дана трапеция $ABCD$ ($BC \parallel AD$). Пусть диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$ и перпендикулярны ($AC \perp BD$). 1. Дано: высота трапеции $h = 4$, диагональ $d_1 = AC = 5$. Так как диагонали перпендикулярны, площадь трапеции можно найти через них, но нам известна только одна. Вспомним свойство трапеции с перпендикулярными диагоналями: её площадь $S = \frac{1}{2} d_1 d_2$. Но нам нужна вторая диагональ или основания. 2. Рассмотрим прямоугольные треугольники, образованные при пересечении диагоналей. Пусть $\angle CAD = \alpha$, тогда $\angle ADB = 90^\circ - \alpha$. Высота $h$ трапеции также равна $h = AO \sin \alpha + DO \sin(90^\circ - \alpha) = AO \sin \alpha + DO \cos \alpha$. 3. Существует красивая формула для площади трапеции с перпендикулярными диагоналями через высоту и диагонали, но проще использовать связь через прямоугольные треугольники. В такой трапеции $h^2 = m \cdot n$ (проекции диагоналей не подходят). Воспользуемся формулой: площадь $S = \frac{d_1^2 d_2^2}{2 (d_1^2 + d_2^2)}$ не подходит, так как $d_2$ неизвестна. 4. Лучший способ: площадь трапеции с перпендикулярными диагоналями выражается как $S = \frac{h^2}{2 \sin \alpha \cos \alpha} = \frac{h^2}{\sin(2\alpha)}$? Нет. 5. Верный путь: площадь трапеции $S = \frac{1}{2} (d_1 d_2)$. Так как $h$ — это проекция диагонали на перпендикуляр к основаниям, то для такой трапеции $h = \frac{d_1 d_2}{\sqrt{d_1^2 + d_2^2}}$ (это высота прямоугольного треугольника, который можно «собрать» из диагоналей). $4 = \frac{5 \cdot d_2}{\sqrt{5^2 + d_2^2}}$ $16 = \frac{25 \cdot d_2^2}{25 + d_2^2}$ $16(25 + d_2^2) = 25 d_2^2$ $400 + 16 d_2^2 = 25 d_2^2$ $9 d_2^2 = 400$ $d_2^2 = \frac{400}{9} \Rightarrow d_2 = \frac{20}{3}$. 6. Площадь трапеции $S = \frac{1}{2} d_1 d_2 = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot \frac{20}{3} = \frac{50}{3} = 16\frac{2}{3}$. Ответ: 16\frac{2}{3}.