1. Решите уравнение x + 1 = 2 - sqrt(x-1)

1. $x + 1 = 2 - \sqrt{x-1}$ ОДЗ: $x - 1 \ge 0 \Rightarrow x \ge 1$. Пусть $t = \sqrt{x-1}$, тогда $t^2 = x - 1$, откуда $x = t^2 + 1$. Уравнение: $t^2 + 1 + 1 = 2 - t \Rightarrow t^2 + t = 0 \Rightarrow t(t+1) = 0$. $t_1 = 0$ (подходит, $\sqrt{x-1}=0 \Rightarrow x=1$), $t_2 = -1$ (не подходит, корень не может быть отрицательным). Ответ: 1. 2. $5 \cdot 4^{x+1} + 4^x \le 84$ $5 \cdot 4 \cdot 4^x + 4^x \le 84$ $20 \cdot 4^x + 1 \cdot 4^x \le 84$ $21 \cdot 4^x \le 84$ $4^x \le 4^1 \Rightarrow x \le 1$. Ответ: $x \in (-\infty; 1]$. 3. $27^{2/3} + ((\frac{5}{7})^3)^0 + 81^{0,5} \cdot 3^{-2}$ $27^{2/3} = (3^3)^{2/3} = 3^2 = 9$. $((\frac{5}{7})^3)^0 = 1$. $81^{0,5} = \sqrt{81} = 9$. $3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}$. $9 + 1 + 9 \cdot \frac{1}{9} = 10 + 1 = 11$. Ответ: 11. 4. $\log_8 4 + \log_8(4x - 10) = 1$ $\log_8(4(4x - 10)) = 1$ $4(4x - 10) = 8^1$ $16x - 40 = 8$ $16x = 48 \Rightarrow x = 3$. Проверка: $4(3)-10 = 2 > 0$ (верно). Ответ: 3. 5. $f(x) = 3x^3 - 36x + 23$ $f'(x) = 9x^2 - 36$. Убывает при $f'(x) \le 0 \Rightarrow 9x^2 - 36 \le 0 \Rightarrow x^2 \le 4 \Rightarrow x \in [-2; 2]$. Ответ: $[-2; 2]$. 6. $f(x) = 6x^2 - 2x + 5, F(-2) = -20$ $F(x) = \int (6x^2 - 2x + 5) dx = 6 \frac{x^3}{3} - 2 \frac{x^2}{2} + 5x + C = 2x^3 - x^2 + 5x + C$. $-20 = 2(-2)^3 - (-2)^2 + 5(-2) + C$ $-20 = 2(-8) - 4 - 10 + C$ $-20 = -16 - 4 - 10 + C \Rightarrow -20 = -30 + C \Rightarrow C = 10$. $F(x) = 2x^3 - x^2 + 5x + 10$. Ответ: $2x^3 - x^2 + 5x + 10$. 7. $\text{tg } x - 3 - 4\text{ctg } x = 0$ $\text{tg } x - 3 - \frac{4}{\text{tg } x} = 0$. Пусть $t = \text{tg } x$: $t - 3 - \frac{4}{t} = 0 \Rightarrow t^2 - 3t - 4 = 0$. $D = 9 - 4(1)(-4) = 25$. $t_1 = \frac{3+5}{2} = 4, t_2 = \frac{3-5}{2} = -1$. 1) $\text{tg } x = 4 \Rightarrow x = \text{arctg } 4 + \pi k, k \in \mathbb{Z}$. 2) $\text{tg } x = -1 \Rightarrow x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$. Ответ: $\text{arctg } 4 + \pi k; -\frac{\pi}{4} + \pi n$. 8. $(1 + \text{ctg}^2 \alpha + \frac{1}{\cos^2 \alpha}) \cdot \sin^2 \alpha \cdot \cos^2 \alpha = 1$ Левая часть: $(\frac{1}{\sin^2 \alpha} + \frac{1}{\cos^2 \alpha}) \cdot \sin^2 \alpha \cdot \cos^2 \alpha = \frac{\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha}{\sin^2 \alpha \cdot \cos^2 \alpha} \cdot \sin^2 \alpha \cdot \cos^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha \cdot \cos^2 \alpha} \cdot \sin^2 \alpha \cdot \cos^2 \alpha = 1$. $1 = 1$, что и требовалось доказать.