Решите неравенство (3x^2 - 18x + 27) / (x + 7) <= 0

Для решения неравенства $\frac{3x^2 - 18x + 27}{x + 7} \le 0$ методом интервалов, сначала найдём корни числителя и знаменателя. 1. Найдём корни числителя: $3x^2 - 18x + 27 = 0$. Разделим уравнение на 3: $x^2 - 6x + 9 = 0$. Решим через дискриминант: $D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 36 - 36 = 0$. Так как $D = 0$, уравнение имеет один корень (или два совпадающих): $x = \frac{-(-6)}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3$. Заметим, что числитель — это полный квадрат: $3(x - 3)^2$. 2. Найдём корни знаменателя (точки разрыва): $x + 7 \neq 0 \Rightarrow x \neq -7$. 3. Анализируем знак выражения $f(x) = \frac{3(x - 3)^2}{x + 7}$ на числовой прямой: - Числитель $3(x - 3)^2$ всегда неотрицателен ($\ge 0$) и равен нулю при $x = 3$. - Знак всей дроби зависит только от знаменателя $x + 7$, при условии $x \neq -7$. Расставим точки на прямой: - Точка $x = -7$ выколотая (знаменатель). - Точка $x = 3$ закрашенная (числитель, неравенство нестрогое). Интервалы: - $(-\infty; -7)$: возьмём $x = -10 \Rightarrow \frac{+}{-} < 0$ (подходит). - $(-7; 3)$: возьмём $x = 0 \Rightarrow \frac{+}{+} > 0$ (не подходит). - $(3; +\infty)$: возьмём $x = 4 \Rightarrow \frac{+}{+} > 0$ (не подходит). Не забудь про точку $x = 3$, так как в ней выражение равно $0$, что удовлетворяет условию $\le 0$. **Ответ: $x \in (-\infty; -7) \cup \{3\}$**