Представить многочленом жегалкина (x1 <-> ¬x2) ∨ (¬x2 | x3)

Для начала приведем логическую формулу к алгебраическому виду (полиному Жегалкина). Исходная формула: $f = (x_1 \leftrightarrow \neg x_2) \lor (\neg x_2 \mid x_3)$. 1. Преобразуем операции в полином Жегалкина: - Отрицание $\neg x = x + 1$ (по модулю 2). - Эквивалентность $a \leftrightarrow b = a + b + 1$. - Дизъюнкция $a \lor b = a + b + ab$. - Штрих Шеффера (NAND) $a \mid b = \neg(ab) = ab + 1$. 2. Раскроем каждую часть: - $(x_1 \leftrightarrow \neg x_2) = x_1 + (x_2 + 1) + 1 = x_1 + x_2 + 1 + 1 = x_1 + x_2$. - $(\neg x_2 \mid x_3) = (x_2 + 1) \cdot x_3 + 1 = x_2x_3 + x_3 + 1$. 3. Теперь объединим через дизъюнкцию: Пусть $A = x_1 + x_2$, а $B = x_2x_3 + x_3 + 1$. $f = A + B + AB = (x_1 + x_2) + (x_2x_3 + x_3 + 1) + (x_1 + x_2)(x_2x_3 + x_3 + 1)$. Раскроем произведение $(x_1 + x_2)(x_2x_3 + x_3 + 1)$: $= x_1x_2x_3 + x_1x_3 + x_1 + x_2^2x_3 + x_2x_3 + x_2$. Так как $x^2 = x$ в булевой алгебре, это равно: $= x_1x_2x_3 + x_1x_3 + x_1 + x_2x_3 + x_2x_3 + x_2 = x_1x_2x_3 + x_1x_3 + x_1 + x_2$. (Так как $x_2x_3 + x_2x_3 = 0$). 4. Сложим все части: $f = (x_1 + x_2) + (x_2x_3 + x_3 + 1) + (x_1x_2x_3 + x_1x_3 + x_1 + x_2)$. Приведем подобные (слагаемые, которые встречаются четное число раз, уходят): - $x_1$: $1 + 1 = 0$ (исчезает). - $x_2$: $1 + 1 = 0$ (исчезает). - Остальное: $x_2x_3 + x_3 + 1 + x_1x_2x_3 + x_1x_3$. **Ответ:** $f = x_1x_2x_3 + x_1x_3 + x_2x_3 + x_3 + 1$.