Вычислите площадь поверхности и сумму длин всех рёбер куба, если его ребро равно 7 дм.

### Решение задачи 4.145 Дано: ребро куба $a = 7$ дм. 1. Площадь поверхности куба $S = 6 \cdot a^2$: $S = 6 \cdot 7^2 = 6 \cdot 49 = 294$ (дм$^2$). 2. Сумма длин всех рёбер $L = 12 \cdot a$: $L = 12 \cdot 7 = 84$ (дм). **Ответ:** площадь поверхности 294 дм$^2$, сумма длин всех рёбер 84 дм. ### Решение задачи 4.146 Найдём площадь поверхности детали, изображённой на рисунке 4.25. Она состоит из двух ступеней. Условно «развернём» грани: передние, задние, боковые, верхние и нижние. Размеры: высота всего 6 см (3+3), ширина нижней части 4 см, толщина (глубина) 6 см. 1. Площадь передней грани: $3 \cdot 4 + 3 \cdot (4+?) = \dots$ Проще разбить на два прямоугольника: $3 \cdot 4$ (нижний) и $3 \cdot 4$ (верхний, если смотреть спереди). То есть общая «фасадная» площадь равна $2 \cdot (3 \cdot 4) = 24$ см$^2$. С учётом боковых и задней частей, удобнее посчитать площадь как у параллелепипеда, у которого «вырезали» угол. Площадь поверхности такой фигуры равна площади поверхности описанного параллелепипеда $6 \times 4 \times 6$ (где 6 — высота, 4 — ширина, 6 — глубина), так как площади ступенек «внутри» в сумме дают проекции внешних граней. $S_{\text{полная}} = 2 \cdot (ab + bc + ac)$; Здесь стороны: $6$ (высота), $4$ (ширина), $6$ (глубина). $S = 2 \cdot (6 \cdot 4 + 4 \cdot 6 + 6 \cdot 6) = 2 \cdot (24 + 24 + 36) = 2 \cdot 84 = 168$ (см$^2$). 2. Масса краски: расход 3 г на 1 см$^2$. $m = 168 \cdot 3 = 504$ (г). **Ответ:** 504 г.