Вычислите 12^(1/3) * 6^(2/3) * (0,5)^(1/3)

### Задание 1 Вычислите $12^{1/3} \cdot 6^{2/3} \cdot (0,5)^{1/3}$. Представим числа в виде простых множителей: $12 = 2^2 \cdot 3$, $6 = 2 \cdot 3$, $0,5 = 2^{-1}$. $(2^2 \cdot 3)^{1/3} \cdot (2 \cdot 3)^{2/3} \cdot (2^{-1})^{1/3} = 2^{2/3} \cdot 3^{1/3} \cdot 2^{2/3} \cdot 3^{2/3} \cdot 2^{-1/3} = 2^{(2/3+2/3-1/3)} \cdot 3^{(1/3+2/3)} = 2^{3/3} \cdot 3^{3/3} = 2^1 \cdot 3^1 = 6$. **Ответ: 6.** ### Задание 2 1) $4^{x-1} = 1 \Rightarrow 4^{x-1} = 4^0 \Rightarrow x-1 = 0 \Rightarrow x=1$. 2) $0,3^{3x-1} = 1 \Rightarrow 0,3^{3x-1} = 0,3^0 \Rightarrow 3x-1 = 0 \Rightarrow x=1/3$. 3) $2^{2x} = 2^4 \sqrt{5} \Rightarrow$ (возможно, опечатка в условии, решим для $2^{2x} = 2^4 \cdot 2^{1/2}$ если $\sqrt{5}$ это $2^{1/2}$ неверно). Если $2^{2x} = 2^4 \cdot 2^?$, уточните. Если $2^{2x} = 2^4$, то $2x=4 \Rightarrow x=2$. 4) $(1/3)^{3x} = (1/3)^{-2} \Rightarrow 3x = -2 \Rightarrow x = -2/3$. ### Задание 3 1) $y=x^4$: парабола 4-й степени, ветви вверх. $D(y) = \mathbb{R}$, $E(y) = [0; +\infty)$. 2) $y=x^5$: кубическая парабола, возрастает. $D(y) = \mathbb{R}$, $E(y) = \mathbb{R}$. 3) $y=x^{1/2} = \sqrt{x}$: ветвь параболы. $D(y) = [0; +\infty)$, $E(y) = [0; +\infty)$. ### Задание 4 1) $\log_2 16 = \log_2 2^4 = 4$. 2) $\log_2 64 = \log_2 2^6 = 6$. 3) $\log_2 2 = 1$. 4) $\log_2 1 = 0$. ### Задание 6 1) $\sin \frac{\pi}{2} + \sin \frac{3\pi}{2} = 1 + (-1) = 0$. 2) $\sin \pi - \cos \pi = 0 - (-1) = 1$. 3) $\sin \pi + \sin 1,5\pi = 0 + (-1) = -1$. ### Задание 7 1) $2 \sin x = 0 \Rightarrow \sin x = 0 \Rightarrow x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$. 2) $\cos x - 1 = 0 \Rightarrow \cos x = 1 \Rightarrow x = 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$. ### Задание 8 Пусть $a=6$ — сторона основания. Высота пирамиды $H$, боковое ребро $l$, угол между боковым ребром и плоскостью основания $\alpha = 45^\circ$. Диагональ основания $d = a\sqrt{2} = 6\sqrt{2}$. Расстояние от центра до вершины основания $R = d/2 = 3\sqrt{2}$. $\tan 45^\circ = H/R \Rightarrow 1 = H / 3\sqrt{2} \Rightarrow H = 3\sqrt{2}$. Объем $V = \frac{1}{3} S_{осн} H = \frac{1}{3} (6^2) (3\sqrt{2}) = \frac{1}{3} \cdot 36 \cdot 3\sqrt{2} = 36\sqrt{2} \approx 50,91$. **Ответ: $36\sqrt{2}$.**