А1. Найдите область определения функции y=корень из(x^2-x+1)

Привет! Давай разберем задания из твоего теста. ### Часть А **А1.** $y = \sqrt{x^2 - x + 1}$. Так как дискриминант $D = 1 - 4 = -3 < 0$, выражение под корнем всегда положительно. **Ответ:** $(-\infty; +\infty)$. **А2.** $\frac{16^{1/4}}{2^{1/2}} = \frac{(2^4)^{1/4}}{2^{1/2}} = \frac{2^1}{2^{1/2}} = 2^{1 - 0.5} = 2^{0.5} = \sqrt{2}$. **Ответ:** $\sqrt{2}$. **А3.** $\log_4 48 - \log_4 3 = \log_4(\frac{48}{3}) = \log_4 16 = 2$. **Ответ:** $2$. **А4.** $\frac{56}{6^{\log_6 7}} = \frac{56}{7} = 8$. **Ответ:** $8$. **А5.** $\log_2 (7+x) = 8 \Rightarrow 7+x = 2^8 \Rightarrow 7+x = 256 \Rightarrow x = 249$. **Ответ:** $249$. **А6.** $m^2 + 2mn + m(n-m) + 1 = m^2 + 2mn + mn - m^2 + 1 = 3mn + 1$. Подставим $m=\frac{1}{4}, n=-\frac{1}{2}$: $3 \cdot \frac{1}{4} \cdot (-\frac{1}{2}) + 1 = -\frac{3}{8} + 1 = \frac{5}{8}$. **Ответ:** $0.625$. **А7.** $2\text{tg}^2 \frac{\pi}{3} - \text{ctg}^2 \frac{\pi}{6} - \sin \frac{\pi}{6} \cdot \cos \frac{\pi}{3} = 2(\sqrt{3})^2 - (\sqrt{3})^2 - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = 2(3) - 3 - 0.25 = 6 - 3 - 0.25 = 2.75$. **Ответ:** $2.75$. **А8.** $y' = (8 \sin x - 7 \cos x)' = 8 \cos x - 7(-\sin x) = 8 \cos x + 7 \sin x$. **Ответ:** $8 \cos x + 7 \sin x$. ### Часть B **В1.** $\sin \alpha = -\frac{35}{37}, \pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$ (III четверть, косинус отрицателен). $\cos \alpha = -\sqrt{1 - \sin^2 \alpha} = -\sqrt{1 - \frac{1225}{1369}} = -\sqrt{\frac{144}{1369}} = -\frac{12}{37}$. **Ответ:** $-\frac{12}{37}$. **В2.** $y = x^3 + 6x^2 + 9x$. $y' = 3x^2 + 12x + 9 = 3(x^2 + 4x + 3) = 3(x+1)(x+3)$. Критические точки $x = -3, x = -1$. Функция возрастает на $(-\infty; -3] \cup [-1; +\infty)$, убывает на $[-3; -1]$. **В3.** $2 \cos x - \sqrt{2} = 0 \Rightarrow \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$. **Ответ:** $\pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$. **В4.** $S = \int_1^5 (x+2) dx = [\frac{x^2}{2} + 2x]_1^5 = (\frac{25}{2} + 10) - (0.5 + 2) = 22.5 - 2.5 = 20$. **Ответ:** $20$. ### Часть C **С1.** $y = 6x^4 - 4x^6$. $y' = 24x^3 - 24x^5 = 24x^3(1-x^2) = 24x^3(1-x)(1+x)$. Точки экстремумов: $x=0, x=1, x=-1$. **С2.** $h=3, b=5$ (боковое ребро). Половина диагонали основания $d/2 = \sqrt{b^2 - h^2} = \sqrt{25 - 9} = 4$. Диагональ $d = 8$. Площадь квадрата в основании $S = d^2 / 2 = 64 / 2 = 32$. Объем $V = \frac{1}{3} S h = \frac{1}{3} \cdot 32 \cdot 3 = 32$. **Ответ:** $32$. **С3.** $16^x - 60 \cdot 4^x - 256 = 0$. Пусть $t = 4^x (t > 0)$, тогда $t^2 - 60t - 256 = 0$. Корни $t_1 = 64, t_2 = -4$ (не подходит). $4^x = 64 \Rightarrow x = 3$. **Ответ:** $3$.