Розв'яжіть нерівність 4^{x^2-3} - 2^{x^2-3} - 12 ≤ 0.

Question

Вопрос:

Розв'яжіть нерівність 4^{x^2-3} - 2^{x^2-3} - 12 ≤ 0.

$Розв'яжіть нерівність 4^{x^2-3} - 2^{x^2-3} - 12 ≤ 0.$

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

Для розв'язання нерівності $4^{x^2-3} - 2^{x^2-3} - 12 \leq 0$ виконаємо заміну змінної. 1. Нехай $t = 2^{x^2-3}$. Оскільки $2^{anything} > 0$, то $t > 0$. 2. Зауважимо, що $4^{x^2-3} = (2^2)^{x^2-3} = (2^{x^2-3})^2 = t^2$. 3. Перепишемо нерівність: $t^2 - t - 12 \leq 0$. 4. Знайдемо корені рівняння $t^2 - t - 12 = 0$ через дискримінант або теорему Вієта: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49 = 7^2$. $t_1 = \frac{1 + 7}{2} = 4$, $t_2 = \frac{1 - 7}{2} = -3$. 5. Нерівність $t^2 - t - 12 \leq 0$ виконується на проміжку $t \in [-3; 4]$. 6. Враховуючи умову $t > 0$, маємо $0 < t \leq 4$. 7. Повернемося до заміни: $0 < 2^{x^2-3} \leq 4$. $2^{x^2-3} \leq 2^2$. Оскільки основа $2 > 1$, нерівність зберігається: $x^2 - 3 \leq 2$. $x^2 \leq 5$. $x \in [-\sqrt{5}; \sqrt{5}]$. **Відповідь:** $x \in [-\sqrt{5}; \sqrt{5}]$.

Розв'яжіть нерівність 4^{x^2-3} - 2^{x^2-3} - 12 ≤ 0.

Ответ ассистента

Другие решения