1. Решите уравнения: (3/4)^(2+4x) = 0,75^(1-8x)

Привет! Давай разберем твою домашнюю работу по порядку. ### 1. Решение уравнений 1.1. $(\frac{3}{4})^{2+4x} = 0,75^{1-8x}$ Заметим, что $0,75 = \frac{3}{4}$. Тогда: $(\frac{3}{4})^{2+4x} = (\frac{3}{4})^{1-8x}$ Приравниваем показатели степеней: $2 + 4x = 1 - 8x$ $12x = -1$ $x = -\frac{1}{12}$ **Ответ: $x = -\frac{1}{12}$** 1.2. $2\cos^2 x - 3\sin x \cos x + 4\sin^2 x = 0$ Разделим уравнение на $\cos^2 x$ (так как $\cos x = 0$ не является решением): $2 - 3\tan x + 4\tan^2 x = 0$ Пусть $t = \tan x$, тогда $4t^2 - 3t + 2 = 0$. Дискриминант $D = (-3)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 2 = 9 - 32 = -23$. Так как $D < 0$, действительных корней нет. **Ответ: нет решений.** 1.3. $\sqrt{x+8} - \sqrt{5x+20} + 2 = 0$ $\sqrt{x+8} + 2 = \sqrt{5x+20}$ Возведем обе части в квадрат: $x+8 + 4\sqrt{x+8} + 4 = 5x+20$ $4\sqrt{x+8} = 4x + 8$ $\sqrt{x+8} = x + 2$ Снова возведем в квадрат: $x+8 = x^2 + 4x + 4$ $x^2 + 3x - 4 = 0$ Корни по теореме Виета: $x_1 = 1, x_2 = -4$. Проверка: для $x=1$ верно, для $x=-4$ получаем $\sqrt{4} - \sqrt{0} + 2 = 4 \neq 0$ (посторонний корень). **Ответ: $x = 1$.** ### 2. Объем многогранника Допущение: Используем размеры: ширина 5, высота 5, глубина 4, вырез высотой 2. Представим многогранник как прямоугольный параллелепипед размером $5 \times 5 \times 4$ с вырезанным призматическим отверстием. Объем выреза: площадь фронтальной грани отверстия $\times$ глубина. Площадь выреза, если высота 2, а ширина, судя по рисунку, 2: $S_{вырез} = 2 \times 2 = 4$. Объем выреза: $4 \times 4 = 16$. Объем всего блока: $V_{общ} = 5 \times 5 \times 4 = 100$. Искомый объем: $100 - 16 = 84$. **Ответ: 84.** ### 3. Производная функции $f(x) = \cos^2(6x)$, $x_0 = \frac{\pi}{24}$. $f'(x) = 2\cos(6x) \cdot (-\sin(6x)) \cdot 6 = -6 \cdot 2\sin(6x)\cos(6x) = -6\sin(12x)$. $f'(\frac{\pi}{24}) = -6 \cdot \sin(12 \cdot \frac{\pi}{24}) = -6 \cdot \sin(\frac{\pi}{2}) = -6 \cdot 1 = -6$. **Ответ: $-6$.** ### 4. Объем тела вращения $y = x-7$ на отрезке $[4, 6]$, вращение вокруг оси $OX$. $V = \pi \int_{4}^{6} (x-7)^2 dx$. Пусть $u = x-7$, тогда $du = dx$, пределы $-3$ до $-1$. $V = \pi \int_{-3}^{-1} u^2 du = \pi [\frac{u^3}{3}]_{-3}^{-1} = \frac{\pi}{3} (-1 - (-27)) = \frac{26\pi}{3}$. **Ответ: $\frac{26\pi}{3}$.** ### 5. Исследование функции $y = e^{-x^2}$ - Область определения: $x \in \mathbb{R}$. - Функция четная ($y(-x) = y(x)$), график симметричен относительно оси $OY$. - Максимум в точке $(0; 1)$. - Горизонтальная асимптота: $y=0$ при $x \to \pm\infty$. - Возрастает на $(-\infty; 0)$, убывает на $(0; +\infty)$. :::div .chart-container @chart-1:::