1. Дайте определение синуса угла из раздела тригонометрии.

Привет! Давай разберем твой экзаменационный билет №10. Вот решения: 1. **Определение синуса:** Синусом угла $\alpha$ в прямоугольном треугольнике называется отношение противолежащего катета к гипотенузе. В единичной окружности синус угла $\alpha$ — это ордината (координата $y$) точки, полученной при повороте точки $(1, 0)$ на угол $\alpha$ вокруг начала координат. 2. **Объем шара:** Формула объема шара: $V = \frac{4}{3}\pi R^3$, где $R$ — радиус шара. Рисунок представляет собой окружность (проекция шара) с отмеченным радиусом $R$ из центра до любой точки сферы. 3. **Уравнение:** $\sqrt[3]{3x^2 - 3} = \sqrt[3]{8x}$ Возведем обе части в куб: $3x^2 - 3 = 8x$ $3x^2 - 8x - 3 = 0$ Решим через дискриминант: $D = (-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-3) = 64 + 36 = 100$. $x_1 = \frac{8 + 10}{6} = 3$ $x_2 = \frac{8 - 10}{6} = -\frac{1}{3}$ Проверка: при $x=3$ $\sqrt[3]{27-3} = \sqrt[3]{24} \neq \sqrt[3]{24}$ (верно). При $x = -1/3$ обе части определены. **Ответ:** $3; -1/3$. 4. **Объем конуса:** Дано: образующая $l = 17$ см, диаметр $d = 16$ см $\Rightarrow$ радиус $r = 8$ см. Высота $h$ находится из треугольника по теореме Пифагора: $h = \sqrt{l^2 - r^2} = \sqrt{17^2 - 8^2} = \sqrt{289 - 64} = \sqrt{225} = 15$ см. Объем $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot 8^2 \cdot 15 = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot 64 \cdot 15 = 320\pi \approx 1004.8$ см$^3$. **Ответ:** $320\pi$ см$^3$. 5. **Вычисление интеграла:** $\int_{0}^{\pi} (\frac{4}{\sqrt{1-x^2}} + \frac{4}{\sin^2 x}) dx$ Внимание: выражение $\frac{4}{\sqrt{1-x^2}}$ имеет область определения $|x| < 1$, а интеграл берется до $\pi \approx 3.14$. Функция не определена на большей части отрезка интегрирования (при $x > 1$ корень извлекается из отрицательного числа). Также при $x=0$ и $x=\pi$ функция $1/\sin^2 x$ стремится к бесконечности. Данный интеграл расходится и не имеет классического решения на заданном отрезке.