В многоквартирном доме 126 квартир. Известно, что во всех подъездах дома одинаковое число этажей и на любом этаже каждого подъезда одинаковое число квартир (больше одной). Сколько этажей в этом доме, если число квартир на каждом этаже в подъезде в 2 раза меньше числа этажей в доме?

Пусть $n$ — количество этажей в доме, а $k$ — количество квартир на одном этаже в одном подъезде. По условию: 1. Число квартир на этаже в 2 раза меньше числа этажей: $k = n / 2$, откуда $n = 2k$. 2. Общее число квартир в доме равно 126. Пусть $P$ — количество подъездов. Тогда общее число квартир можно выразить как: $P \times n \times k = 126$. Подставим $n = 2k$ в уравнение: $P \times (2k) \times k = 126$ $P \times 2k^2 = 126$ $P \times k^2 = 63$ Нам нужно найти число этажей $n$, значит, нужно найти $k$ (так как $n=2k$). Разложим число 63 на множители: $63 = 9 \times 7 = 3 \times 3 \times 7 = 1 \times 63$. Так как $k^2$ должно быть делителем 63, то $k^2$ может быть равно $3^2 = 9$ (тогда $k=3$, а $P=7$ подъездов). Других полных квадратов (кроме 1) среди делителей 63 нет ($k > 1$ по условию). Итак, $k = 3$. Тогда количество этажей $n = 2 \times 3 = 6$. Проверим: 7 подъездов $\times$ 6 этажей $\times$ 3 квартиры на этаже = $7 \times 18 = 126$. Всё верно. **Ответ: 6**