Вычислить неопределенный интеграл $\int \frac{\sin 3x}{\sqrt[3]{\cos 3x}} dx$

### Экзаменационный билет № 8 **1. Неопределенный интеграл:** $\int \frac{\sin 3x}{\sqrt[3]{\cos 3x}} dx = -\frac{1}{3} \int (\cos 3x)^{-1/3} d(\cos 3x) = -\frac{1}{3} \cdot \frac{(\cos 3x)^{2/3}}{2/3} + C = -\frac{1}{2} \sqrt[3]{\cos^2 3x} + C$ **2. Производные:** a) $y = (7x^5 - 3x^{5/3} - 6)^4$ $y' = 4(7x^5 - 3x^{5/3} - 6)^3 \cdot (35x^4 - 5x^{2/3})$ г) $y = 2^{x^2+1} - x\sin 4x$ $y' = 2^{x^2+1} \cdot \ln 2 \cdot 2x - (\sin 4x + x \cdot \cos 4x \cdot 4) = 2x \cdot 2^{x^2+1} \ln 2 - \sin 4x - 4x \cos 4x$ **3. Дифференциальное уравнение:** $y' \cos x - 2y \sin x = 2$ Это линейное уравнение вида $y' + P(x)y = Q(x)$. $y' - y \cdot (2 \tan x) = \frac{2}{\cos x}$ Интегрирующий множитель: $\mu(x) = e^{-\int 2 \tan x dx} = e^{2 \ln |\cos x|} = \cos^2 x$ $(\cos^2 x \cdot y)' = 2 \cos x$ $\cos^2 x \cdot y = \int 2 \cos x dx = 2 \sin x + C$ $y = \frac{2 \sin x + C}{\cos^2 x}$ При $y_0 = 3$ и $x_0 = 0$: $3 = \frac{0 + C}{1} \Rightarrow C = 3$ Ответ: $y = \frac{2 \sin x + 3}{\cos^2 x}$ ### Экзаменационный билет № 29 **1. Неопределенный интеграл:** $\int \sin x \cos^3 x dx = -\int \cos^3 x d(\cos x) = -\frac{\cos^4 x}{4} + C$ **2. Производные:** a) $y = (5x^4 - 2x^{-1/2} + 3)^2$ $y' = 2(5x^4 - 2x^{-1/2} + 3) \cdot (20x^3 + x^{-3/2}) = 2(5x^4 - \frac{2}{\sqrt{x}} + 3)(20x^3 + \frac{1}{x\sqrt{x}})$ в) $y = \operatorname{arctg} \sqrt{x-1}$ $y' = \frac{1}{1 + (\sqrt{x-1})^2} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x-1}} = \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x-1}} = \frac{1}{2x\sqrt{x-1}}$ **3. Дифференциальное уравнение:** $x^2 y' + y^2 - 2xy = 0$ Разделим на $x^2$: $y' - \frac{2}{x}y = -\frac{y^2}{x^2}$. Это уравнение Бернулли ($n=2$). Замена $z = y^{1-2} = y^{-1}$, тогда $z' = -y^{-2} y'$. $-z' - \frac{2}{x}z = -\frac{1}{x^2} \Rightarrow z' + \frac{2}{x}z = \frac{1}{x^2}$ Интегрирующий множитель: $e^{\int (2/x) dx} = x^2$. $(z \cdot x^2)' = \frac{1}{x^2} \cdot x^2 = 1$ $z \cdot x^2 = x + C$ $z = \frac{x+C}{x^2} = \frac{1}{x} + \frac{C}{x^2}$ $y = \frac{1}{z} = \frac{x^2}{x+C}$