Вычислить неопределенный интеграл, найти производные заданных функций, найти решение дифференциального уравнения.

Привет! Это серьезные задачи по высшей математике. Давай разберем их по порядку. ### Билет 12 **1. Интеграл:** $\int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2} \arcsin x}$ Сделаем замену переменной: пусть $t = \arcsin x$, тогда $dt = \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}$. Получаем: $\int \frac{dt}{t} = \ln|t| + C = \ln|\arcsin x| + C$. **2. Производные:** а) $y = (8x^3 - 9x^{-2.5} + 6)^5$ Применяем правило производной сложной функции: $y' = 5(8x^3 - 9x^{-2.5} + 6)^4 \cdot (24x^2 - 9 \cdot (-2.5)x^{-3.5}) = 5(8x^3 - \frac{9}{x^2\sqrt{x}} + 6)^4 \cdot (24x^2 + \frac{22.5}{x^3\sqrt{x}})$. г) $y = 2^{x^2+1} - x \sin 4x$ $y' = 2^{x^2+1} \cdot \ln 2 \cdot (2x) - (1 \cdot \sin 4x + x \cdot \cos 4x \cdot 4) = 2x \cdot 2^{x^2+1} \cdot \ln 2 - \sin 4x - 4x \cos 4x$. **3. Дифференциальное уравнение:** $y' + \frac{3}{x}y = \frac{2}{x^3}$ Это линейное уравнение вида $y' + P(x)y = Q(x)$. Находим интегрирующий множитель $\mu(x) = e^{\int \frac{3}{x} dx} = e^{3\ln x} = x^3$. Умножаем уравнение на $x^3$: $x^3y' + 3x^2y = 2$, что есть производная произведения $(x^3y)' = 2$. Интегрируем: $x^3y = 2x + C$, значит $y = \frac{2}{x^2} + \frac{C}{x^3}$. Подставляем условие $y(1)=1$: $1 = 2 + C \Rightarrow C = -1$. Ответ: $y = \frac{2}{x^2} - \frac{1}{x^3}$. --- ### Билет 14 **1. Интеграл:** $\int \frac{x^2 dx}{x^3+1}$ Замена: $t = x^3 + 1$, $dt = 3x^2 dx$, откуда $x^2 dx = \frac{dt}{3}$. Интеграл: $\frac{1}{3} \int \frac{dt}{t} = \frac{1}{3} \ln|t| + C = \frac{1}{3} \ln|x^3+1| + C$. **2. Производные:** б) $y = \ln \sqrt[3]{\frac{x^3 - 3}{x^3 + 2}} = \frac{1}{3} (\ln(x^3-3) - \ln(x^3+2))$ $y' = \frac{1}{3} (\frac{3x^2}{x^3-3} - \frac{3x^2}{x^3+2}) = x^2(\frac{1}{x^3-3} - \frac{1}{x^3+2}) = x^2 \cdot \frac{x^3+2 - x^3+3}{(x^3-3)(x^3+2)} = \frac{5x^2}{(x^3-3)(x^3+2)}$. в) $y = \arctan \sqrt{x-1}$ $y' = \frac{1}{1 + (\sqrt{x-1})^2} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x-1}} = \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x-1}} = \frac{1}{2x\sqrt{x-1}}$. **3. Дифференциальное уравнение:** $y' - \frac{1}{x}y = -\frac{2}{x^2}$ Интегрирующий множитель $\mu(x) = e^{\int -\frac{1}{x} dx} = e^{-\ln x} = \frac{1}{x}$. Умножаем: $\frac{1}{x}y' - \frac{1}{x^2}y = -\frac{2}{x^3} \Rightarrow (\frac{y}{x})' = -\frac{2}{x^3}$. Интегрируем: $\frac{y}{x} = \int -2x^{-3} dx = -2 \cdot \frac{x^{-2}}{-2} + C = \frac{1}{x^2} + C$. $y = \frac{1}{x} + Cx$. Подставляем $y(1)=1$: $1 = 1 + C \Rightarrow C = 0$. Ответ: $y = \frac{1}{x}$.