1.. Вычислить неопределенный интеграл ∫ x^2 dx / sqrt(1+x^6)

Решение задач: 1. Вычисление интеграла: $ \int \frac{x^2 dx}{\sqrt{1+x^6}} = \int \frac{x^2 dx}{\sqrt{1+(x^3)^2}} $ Пусть $u = x^3$, тогда $du = 3x^2 dx$, следовательно, $x^2 dx = \frac{1}{3} du$. $ \frac{1}{3} \int \frac{du}{\sqrt{1+u^2}} = \frac{1}{3} \ln |u + \sqrt{u^2+1}| + C = \frac{1}{3} \ln |x^3 + \sqrt{x^6+1}| + C $ 2. Нахождение производных: в) $y = \operatorname{arctg} \frac{1}{x-1}$ Используем формулу $(\operatorname{arctg} u)' = \frac{u'}{1+u^2}$ и правило производной частного: $y' = \frac{1}{1 + (\frac{1}{x-1})^2} \cdot (\frac{1}{x-1})' = \frac{1}{1 + \frac{1}{(x-1)^2}} \cdot (-\frac{1}{(x-1)^2}) = \frac{(x-1)^2}{(x-1)^2+1} \cdot (-\frac{1}{(x-1)^2}) = -\frac{1}{(x-1)^2+1} = -\frac{1}{x^2-2x+2}$ г) $y = 5^{\sqrt{x}} - x^2 \operatorname{tg} 2x$ Используем правило производной суммы, функции $a^u$ и произведения: $y' = (5^{\sqrt{x}})' - ((x^2)' \operatorname{tg} 2x + x^2 (\operatorname{tg} 2x)') = 5^{\sqrt{x}} \ln 5 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} - (2x \operatorname{tg} 2x + x^2 \cdot \frac{2}{\cos^2 2x})$ 3. Решение дифференциального уравнения $y' + y = \frac{e^{-x}}{1+x^2}$, $y(0) = 2$: Это линейное уравнение вида $y' + Py = Q$. Интегрирующий множитель $I(x) = e^{\int 1 dx} = e^x$. $y e^x = \int e^x \cdot \frac{e^{-x}}{1+x^2} dx = \int \frac{1}{1+x^2} dx = \operatorname{arctg} x + C$ $y = e^{-x} (\operatorname{arctg} x + C)$ Подставим начальное условие $y(0) = 2$: $2 = e^0 (\operatorname{arctg} 0 + C) \Rightarrow 2 = 1 \cdot (0 + C) \Rightarrow C = 2$ Ответ: $y = e^{-x} (\operatorname{arctg} x + 2)$