Стороны основания прямого параллелепипеда равны 3 дм и 5 дм, острый угол равен 60°. Найдите высоту параллелепипеда, если его большая диагональ равна 25 дм.

Привет! Давай разберем задачи из твоей контрольной по геометрии. **Задача 1.** Основание — параллелограмм со сторонами $a=3$ дм, $b=5$ дм и углом $60^\circ$. Большая диагональ основания $d_1$ находится по теореме косинусов: $d_1^2 = 3^2 + 5^2 - 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \cos(180^\circ - 60^\circ) = 9 + 25 - 30 \cdot (-0.5) = 34 + 15 = 49$. $d_1 = 7$ дм. Большая диагональ параллелепипеда $D = 25$ дм. Высота $H$ связана с $D$ и $d_1$ теоремой Пифагора: $D^2 = H^2 + d_1^2$. $25^2 = H^2 + 7^2 \Rightarrow 625 = H^2 + 49 \Rightarrow H^2 = 576 \Rightarrow H = 24$ дм. **Ответ:** 24 дм. **Задача 2.** Пусть стороны квадратов оснований $a_1$ и $a_2$. Диагонали оснований $d_1 = a_1\sqrt{2}$, $d_2 = a_2\sqrt{2}$. Высота $h = 7$, боковое ребро $l = 9$. Из прямоугольного треугольника, образованного высотой, разностью радиусов (или полудиагоналей) и боковым ребром: $l^2 = h^2 + (\frac{d_1-d_2}{2})^2$. Здесь $d_1, d_2$ — расстояния от центра до вершины. Для удобства возьмем половины диагоналей $r_1, r_2$. $9^2 = 7^2 + (r_1-r_2)^2 \Rightarrow 81 = 49 + (r_1-r_2)^2 \Rightarrow (r_1-r_2)^2 = 32 \Rightarrow r_1-r_2 = 4\sqrt{2}$. Дана диагональ усеченной пирамиды $D = 11$. $D^2 = h^2 + (d_1 + d_2/2)^2$ (или аналогично). Учитывая форму пирамиды, проще рассмотреть диагональное сечение. Сумма половин диагоналей $r_1+r_2 = \sqrt{D^2 - h^2} = \sqrt{121-49} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}$. Получаем систему: $r_1 - r_2 = 4\sqrt{2}$ $r_1 + r_2 = 6\sqrt{2}$ $2r_1 = 10\sqrt{2} \Rightarrow r_1 = 5\sqrt{2}$. Тогда $d_1 = 2r_1 = 10\sqrt{2}$. Сторона $a_1 = d_1 / \sqrt{2} = 10$ см. $r_2 = 2\sqrt{2} \Rightarrow d_2 = 4\sqrt{2}$. Сторона $a_2 = 4$ см. **Ответ:** 10 см и 4 см. **Задача 3.** Сечение — квадрат со стороной $H = 16$ см (так как оно параллельно оси, одна сторона равна высоте цилиндра, а так как это квадрат, вторая тоже 16). Расстояние от оси до сечения $d = 6$ см. Радиус цилиндра $R$ образует прямоугольный треугольник с расстоянием до сечения и половиной стороны сечения ($a/2 = 8$): $R^2 = d^2 + (a/2)^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$. $R = 10$ см. **Ответ:** 10 см. **Задача 4.** В усеченном конусе диагональ осевого сечения $d = 10$, высота $h = 6$, радиус малого основания $r = 3$. Диагональ осевого сечения — гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами $h$ и $(R+r)$ (проекция диагонали на основание равна сумме радиусов). $d^2 = h^2 + (R+r)^2 \Rightarrow 100 = 36 + (R+3)^2$. $(R+3)^2 = 64 \Rightarrow R+3 = 8 \Rightarrow R = 5$ см. **Ответ:** 5 см. **Задача 5.** Уравнение сферы: $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2$. Центр $A(-2; 2; 0)$, точка $N(5; 0; -1)$. Радиус $R$ — это расстояние между $A$ и $N$: $R^2 = (5 - (-2))^2 + (0 - 2)^2 + (-1 - 0)^2 = 7^2 + (-2)^2 + (-1)^2 = 49 + 4 + 1 = 54$. Уравнение: $(x + 2)^2 + (y - 2)^2 + z^2 = 54$. **Ответ:** $(x + 2)^2 + (y - 2)^2 + z^2 = 54$.