10. От станции А к станции В отправился с постоянной скоростью первый локомотив, а через 1 час после этого следом за ним со скоростью на 1 км/ч большей отправился второй.

Привет! Давай разберем задачи по очереди. ### Задача 10 Пусть $v$ — скорость первого локомотива (в км/ч), тогда скорость второго равна $v+1$ (км/ч). Время первого в пути: $t_1 = \frac{110}{v}$. Время второго в пути: $t_2 = \frac{110}{v+1}$. Так как второй выехал на 1 час позже, но прибыл одновременно, то $t_1 - t_2 = 1$. $$\frac{110}{v} - \frac{110}{v+1} = 1$$ Умножим на $v(v+1)$: $110(v+1) - 110v = v^2 + v$ $110v + 110 - 110v = v^2 + v$ $v^2 + v - 110 = 0$ Корни уравнения: $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-110) = 1 + 440 = 441 = 21^2$ $v_1 = \frac{-1 + 21}{2} = 10$ $v_2 = \frac{-1 - 21}{2} = -11$ (не подходит, так как скорость > 0) Скорость первого локомотива 10 км/ч, тогда скорость второго $10+1 = 11$ км/ч. **Ответ: 11** ### Задача 11 $(4^x - 9 \cdot 2^x + 8) \cdot \sqrt{x-2} = 0$ ОДЗ: $x - 2 \geq 0 \implies x \geq 2$. Произведение равно 0, если хотя бы один множитель равен 0: 1) $\sqrt{x-2} = 0 \implies x-2=0 \implies x=2$. 2) $4^x - 9 \cdot 2^x + 8 = 0$. Пусть $t = 2^x$, тогда $t^2 - 9t + 8 = 0$. По теореме Виета $t_1 = 1, t_2 = 8$. - $2^x = 1 \implies x = 0$. (Не входит в ОДЗ, так как $x \geq 2$). - $2^x = 8 \implies x = 3$. (Входит в ОДЗ). **Ответ: 2; 3** ### Задача 12 $U = 2 \cos(240t - 120^{\circ})$. Лампочка горит, если $U \geq 1$: $2 \cos(240t - 120^{\circ}) \geq 1$ $\cos(240t - 120^{\circ}) \geq 0,5$ Пусть $\alpha = 240t - 120^{\circ}$. Косинус $\geq 0,5$ в интервале $[-\frac{\pi}{3} + 2\pi n, \frac{\pi}{3} + 2\pi n]$, что в градусах $[-60^{\circ} + 360^{\circ} n, 60^{\circ} + 360^{\circ} n]$. $-60^{\circ} \leq 240t - 120^{\circ} \leq 60^{\circ}$ $60^{\circ} \leq 240t \leq 180^{\circ}$ $\frac{60}{240} \leq t \leq \frac{180}{240} \implies 0,25 \leq t \leq 0,75$ Длительность горения $\Delta t = 0,75 - 0,25 = 0,5$ секунды. Это $50\%$ от 1 секунды. **Ответ: 50%** ### Задача 13 Формула (исходя из фото, вероятно $g=10$ в знаменателе, а не 8, так как 8 выглядит как опечатка в условии): $t = \frac{2 v_0 \sin \alpha}{g} \implies 5,6 = \frac{2 \cdot 28 \cdot \sin \alpha}{10}$ $5,6 = 5,6 \cdot \sin \alpha \implies \sin \alpha = 1 \implies \alpha = 90^{\circ}$. **Ответ: 90** ### Задача 14 Пусть $R=5$ см, $r=3$ см. Шарик лежит на дне. Объем воды в цилиндре (с шариком) равен объему цилиндра до уровня, касательного к шарику (высота уровня воды $h$ равна диаметру шарика $h=2r=6$ см). Объем воды = Объем цилиндра (высотой 6 см) - Объем шарика. $V_{цил} = \pi R^2 h = \pi \cdot 5^2 \cdot 6 = 150\pi$. $V_{шар} = \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot 3^3 = 36\pi$. $V_{воды} = 150\pi - 36\pi = 114\pi \approx 358$ см$^3$. **Ответ: 114π**