2. На столе разложены 21 карточка, на каждой из которых написаны различные числа от 7 до 27.

1. Найдем сумму всех чисел от 7 до 27. Это сумма арифметической прогрессии, где первый член $a_1 = 7$, последний $a_n = 27$, количество членов $n = 21$. Формула суммы: $S = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$ $S_{всего} = \frac{7 + 27}{2} \cdot 21 = \frac{34}{2} \cdot 21 = 17 \cdot 21 = 357$ 2. Пусть $S_K$ — сумма чисел у Коли, $S_O$ — сумма чисел у Оли, а $x$ — число на оставшейся карточке. Тогда: $S_K + S_O + x = 357$ 3. По условию $S_K = S_O + 110$. Подставим это выражение в уравнение: $(S_O + 110) + S_O + x = 357$ $2S_O + x + 110 = 357$ $2S_O + x = 247$ 4. Нам известно, что Оля взяла 10 карточек. Сумма этих 10 карточек $S_O$ должна быть не меньше суммы 10 наименьших чисел (от 7 до 16) и не больше суммы 10 наибольших возможных чисел (но ограниченных общим набором). Наименьшая возможная сумма 10 карт: $7+8+9+10+11+12+13+14+15+16 = 115$. Если $S_O = 115$, то $2 \cdot 115 + x = 230 + x = 247$, откуда $x = 17$. Если мы возьмем $S_O$ чуть больше, например, 116, то $x$ уменьшится, и так далее. Нам нужно найти такое $x$, которое входит в диапазон от 7 до 27. Проверим $2S_O = 247 - x$. Так как $2S_O$ — четное число, то $247 - x$ должно быть четным. Значит, $x$ должно быть нечетным числом. Так как числа на карточках — это все целые числа от 7 до 27, то 17 — вполне подходящее значение, которое могло остаться. **Ответ: 17**