20.(3 балла) Решите систему уравнений x + 4y = 16 log7 y = log7 (4x + 4)

### Задача 20 Решите систему уравнений: $$\begin{cases} x + 4y = 16 \\ \log_7 y = \log_7 (4x + 4) \end{cases}$$ 1. Из второго уравнения, так как основания логарифмов равны, приравняем аргументы: $$y = 4x + 4$$ Условие существования логарифма: $y > 0$ и $4x + 4 > 0$, откуда $x > -1$. 2. Подставим $y = 4x + 4$ в первое уравнение: $$x + 4(4x + 4) = 16$$ $$x + 16x + 16 = 16$$ $$17x = 0$$ $$x = 0$$ 3. Найдем $y$: $$y = 4(0) + 4 = 4$$ Проверка условия: $0 > -1$ (верно), $y=4 > 0$ (верно). **Ответ:** (0; 4). ### Задача 21 Дано: равнобочная трапеция, основания $a = 12$ см, $b = 28$ см, высота $h = 6$ см. Боковая сторона $c$ находится из прямоугольного треугольника с катетами $h=6$ и $\frac{b-a}{2} = \frac{28-12}{2} = 8$. Тогда $c = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10$ см. 1. Вращение вокруг меньшего основания ($a=12$): Тело представляет собой цилиндр (радиус $R=h=6$, высота $H=12$) минус два конуса по краям (радиус $R=6$, высота $H_{кон}=8$). $S_1 = 2\pi RH + 2\pi R c = 2\pi \cdot 6 \cdot 12 + 2\pi \cdot 6 \cdot 10 = 144\pi + 120\pi = 264\pi$. 2. Вращение вокруг большего основания ($b=28$): Тело - цилиндр ($R=6$, высота $H=28$) минус два конуса (радиус $R=6$, высота $H_{кон}=8$). $S_2 = 2\pi RH + 2\pi R c = 2\pi \cdot 6 \cdot 28 + 2\pi \cdot 6 \cdot 10 = 336\pi + 120\pi = 456\pi$. 3. Сравнение: $S_2 > S_1$. **Ответ:** $264\pi$ см$^2$ и $456\pi$ см$^2$; площадь при вращении вокруг большего основания больше. ### Задача (без номера) $\cos 2x + \sin^2 x + \cos x = 0$ 1. Используем формулу $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$: $$1 - 2\sin^2 x + \sin^2 x + \cos x = 0$$ $$1 - \sin^2 x + \cos x = 0$$ 2. Так как $1 - \sin^2 x = \cos^2 x$: $$\cos^2 x + \cos x = 0$$ $$\cos x (\cos x + 1) = 0$$ 3. Решения: а) $\cos x = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + \pi k$ б) $\cos x = -1 \Rightarrow x = \pi + 2\pi k$ 4. Корни на отрезке $[-\pi; \pi]$: - Из а): $\frac{\pi}{2}$ и $-\frac{\pi}{2}$ - Из б): $\pi$ и $-\pi$ **Ответ:** $-\pi; -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}; \pi$.