13. (1 балл) Найдите значение выражения 6^sqrt(5)+1 * 6^-sqrt(5)

Решим задания из вашего листа: 13. Найдите значение выражения $6^{\sqrt{5}+1} \cdot 6^{-\sqrt{5}}$: При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются: $6^{\sqrt{5}+1 + (-\sqrt{5})} = 6^1 = 6$. Ответ: 6. 14. Найдите корень уравнения $x = \frac{11x - 12}{x + 4}$: $x(x + 4) = 11x - 12$ $x^2 + 4x = 11x - 12$ $x^2 - 7x + 12 = 0$ По теореме Виета: $x_1 + x_2 = 7$, $x_1 \cdot x_2 = 12$. Корни: $x_1 = 3, x_2 = 4$. Ответ: 3; 4. 15. Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания и высота которого равны 1. Найдите объем параллелепипеда. Если цилиндр с радиусом $r=1$ и высотой $h=1$ вписан в параллелепипед, то стороны основания параллелепипеда равны диаметру цилиндра ($d = 2r = 2$), а высота параллелепипеда равна высоте цилиндра ($h=1$). $V = a \cdot b \cdot h = 2 \cdot 2 \cdot 1 = 4$. Ответ: 4. 16. Найдите скорость тела через 4 с: $S = t + 0,5t^2$ (м). Скорость — это производная пути по времени: $v(t) = S'(t)$. $v(t) = (t + 0,5t^2)' = 1 + t$. Подставим $t = 4$: $v(4) = 1 + 4 = 5$ (м/с). Ответ: 5. 17. Решите уравнение $2\cos^2 x - \cos x - 1 = 0$. Пусть $\cos x = t$ ($|t| \le 1$). $2t^2 - t - 1 = 0$. $D = 1 - 4(2)(-1) = 9$. $t_1 = \frac{1 + 3}{4} = 1$; $t_2 = \frac{1 - 3}{4} = -0,5$. 1) $\cos x = 1 \Rightarrow x = 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$. 2) $\cos x = -0,5 \Rightarrow x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$. Ответ: $2\pi n, \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$. 18. Решите неравенство $27^{1+2x} > (\frac{1}{9})^{2+x}$. Приведем к основанию 3: $(3^3)^{1+2x} > (3^{-2})^{2+x}$. $3^{3+6x} > 3^{-4-2x}$. Так как $3 > 1$, знак сохраняется: $3+6x > -4-2x$ $8x > -7$ $x > -0,875$. Ответ: $(-0,875; +\infty)$.