1. (1 балл) Найдите корень уравнения 3 5x-13 = 9.

### Решение задач: **1. Найдите корень уравнения $3^{5x-13} = 9$** $3^{5x-13} = 3^2$ $5x - 13 = 2$ $5x = 15$ $x = 3$ **Ответ: 3** **2. Найдите значение выражения $\frac{84}{5^{\log_5 7}}$** По основному логарифмическому тождеству $5^{\log_5 7} = 7$. $\frac{84}{7} = 12$ **Ответ: 12** **3. Шариковая ручка стоит 20 рублей. Какое наибольшее число таких ручек можно будет купить на 500 рублей после повышения цены на 10%?** Новая цена ручки: $20 + 20 \cdot 0.1 = 20 + 2 = 22$ рубля. Количество ручек: $500 / 22 \approx 22.72$. Так как можно купить только целое число, покупаем 22 ручки. **Ответ: 22** **4. Определите при каких значениях $x$, $f(x) = 0$** По графику функция пересекает ось $OX$ в точках $x = 1, x = 5, x = 9$. Точка $x=12$ является крайней точкой, но график там обрывается, и $f(12)$ не равна 0 (судя по рисунку). **Ответ: 1; 5; 9** **5. Определите наименьшее и наибольшее значения функции** Наименьшее значение функция принимает в точке $x=8$ ($y=-3$). Наибольшее значение функция принимает в точках $x=0$ и $x=4$ ($y=3$). **Ответ: min = -3, max = 3** **6. При каких значениях $x$, $f(x) \ge 0$** Функция находится выше оси $OX$ (или в нуле) на интервалах $x \in [-1; 1] \cup [5; 9]$. **Ответ: [-1; 1] \cup [5; 9]** **7. При каких значениях $x$, $f(x) \le 0$** Функция находится ниже оси $OX$ (или в нуле) на интервалах $x \in [1; 5] \cup [9; 12]$. **Ответ: [1; 5] \cup [9; 12]** **8. Найдите значение $\cos \alpha$, если $\sin \alpha = \frac{5}{13}$ и $\alpha \in II$ четверти** $\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - (\frac{5}{13})^2 = 1 - \frac{25}{169} = \frac{144}{169}$ Так как $\alpha$ во II четверти, косинус отрицательный: $\cos \alpha = -\sqrt{\frac{144}{169}} = -\frac{12}{13}$. **Ответ: -12/13**