13. (2 балла) Вычислите площадь участка стола, отведенного для презентации работ дизайнера Василия, периметр которого ограничивают линии y= x2-x-1 и y= -x2+2.

Для решения задачи найдем точки пересечения парабол $y_1 = x^2 - x - 1$ и $y_2 = -x^2 + 2$. Приравняем их: $x^2 - x - 1 = -x^2 + 2$ $2x^2 - x - 3 = 0$ Найдем корни квадратного уравнения через дискриминант: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 1 + 24 = 25$ $x_1 = \frac{1 + 5}{4} = 1.5$ $x_2 = \frac{1 - 5}{4} = -1$ Площадь фигуры, ограниченной линиями, вычисляется как определенный интеграл от разности верхней и нижней функций на интервале $[-1, 1.5]$: $S = \int_{-1}^{1.5} ((-x^2 + 2) - (x^2 - x - 1)) dx$ $S = \int_{-1}^{1.5} (-2x^2 + x + 3) dx$ $S = \left[ -\frac{2}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 + 3x \right]_{-1}^{1.5}$ Вычислим значение в точках: При $x = 1.5$ ($3/2$): $-\frac{2}{3} \cdot \frac{27}{8} + \frac{1}{2} \cdot \frac{9}{4} + 3 \cdot \frac{3}{2} = -\frac{9}{4} + \frac{9}{8} + \frac{9}{2} = -\frac{18}{8} + \frac{9}{8} + \frac{36}{8} = \frac{27}{8} = 3.375$ При $x = -1$: $-\frac{2}{3} \cdot (-1) + \frac{1}{2} \cdot 1 + 3 \cdot (-1) = \frac{2}{3} + 0.5 - 3 = \frac{4}{6} + \frac{3}{6} - \frac{18}{6} = -\frac{11}{6} \approx -1.833$ $S = 3.375 - (-1.833) = 3.375 + 1.833 = 5.20833... = \frac{125}{24}$ :::div .chart-container @chart-1::: **Ответ:** Площадь равна $5.208\frac{1}{3} \approx 5.21$ м².