Задание 11. Исследуйте функцию у = х3 – 3х2 +4 с помощью производной и постройте её график.

### Решение задания 11 **1. Область определения:** $D(y) = (-\infty; +\infty)$. **2. Производная и критические точки:** $y' = 3x^2 - 6x$ $3x^2 - 6x = 0 \implies 3x(x - 2) = 0$ $x_1 = 0, x_2 = 2$. **3. Промежутки возрастания и убывания:** На интервале $(-\infty; 0)$ производная положительна ($y' > 0$), функция возрастает. На интервале $(0; 2)$ производная отрицательна ($y' < 0$), функция убывает. На интервале $(2; +\infty)$ производная положительна ($y' > 0$), функция возрастает. **4. Экстремумы:** $x = 0$ — точка максимума, $y(0) = 4$. $x = 2$ — точка минимума, $y(2) = 8 - 12 + 4 = 0$. **5. Точки пересечения с осями:** Ось Oy: $x=0, y=4$. Точка $(0; 4)$. Ось Ox: $x^3 - 3x^2 + 4 = 0$. Заметим, что $x=2$ — корень. Разделим на $(x-2)$: $(x-2)(x^2 - x - 2) = 0 \implies (x-2)^2(x+1) = 0$. Пересечение в $(-1; 0)$ и касание в $(2; 0)$. :::div .chart-container @chart-1::: ### Решение задания 12 Крыша — боковая поверхность правильной четырёхугольной пирамиды. **1. Данные:** Сторона основания $a = 8$ м. Угол между апофемой ($l$) и плоскостью основания $\alpha = 60^\circ$. **2. Нахождение апофемы ($l$):** Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды, отрезком от центра основания до середины стороны (равен $a/2 = 4$ м) и апофемой. $\cos(60^\circ) = \frac{4}{l} \implies \frac{1}{2} = \frac{4}{l} \implies l = 8$ м. **3. Площадь боковой поверхности ($S_{бок}$):** $S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot P \cdot l$, где $P = 4a = 4 \cdot 8 = 32$ м — периметр. $S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot 32 \cdot 8 = 16 \cdot 8 = 128$ м$^2$. **Ответ:** 128 м$^2$.