Экзаменационный билет №23. 1. Производная и её свойства. 2. Вычислить определенный интеграл: $\int_{-1}^{2}(9 - x^2 + 5x^5 - 3)dx$. 3. Решить уравнение: $\log_2(x + 2) = 1 - \log_2 x$.

### 1. Производная и её свойства Производная функции $f(x)$ в точке $x_0$ — это предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю: $f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}$ Основные свойства: - $(f \pm g)' = f' \pm g'$ - $(f \cdot g)' = f'g + fg'$ - $(\frac{f}{g})' = \frac{f'g - fg'}{g^2}$ ($g \neq 0$) - $(cf)' = c \cdot f'$ (где $c$ — константа) - Производная сложной функции: $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$ ### 2. Вычисление интеграла Сначала упростим выражение под интегралом: $9 - x^2 + 5x^5 - 3 = 5x^5 - x^2 + 6$ Вычисляем: $\int_{-1}^{2} (5x^5 - x^2 + 6) dx = \left[ \frac{5x^6}{6} - \frac{x^3}{3} + 6x \right]_{-1}^{2}$ Подставляем пределы: Для $x=2$: $\frac{5 \cdot 64}{6} - \frac{8}{3} + 12 = \frac{160}{3} - \frac{8}{3} + \frac{36}{3} = \frac{188}{3}$ Для $x=-1$: $\frac{5 \cdot 1}{6} - \frac{-1}{3} - 6 = \frac{5}{6} + \frac{2}{6} - \frac{36}{6} = -\frac{29}{6}$ Итого: $\frac{188}{3} - (-\frac{29}{6}) = \frac{376}{6} + \frac{29}{6} = \frac{405}{6} = 67,5$ **Ответ: 67,5** ### 3. Решение уравнения $\log_2(x + 2) = 1 - \log_2 x$ ОДЗ: $\begin{cases} x + 2 > 0 \\ x > 0 \end{cases} \implies x > 0$ Перенесем логарифмы в одну сторону: $\log_2(x + 2) + \log_2 x = 1$ $\log_2(x(x + 2)) = 1$ $x(x + 2) = 2^1$ $x^2 + 2x - 2 = 0$ Корни через дискриминант: $D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 4 + 8 = 12$ $x = \frac{-2 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{3}}{2} = -1 \pm \sqrt{3}$ Так как по ОДЗ $x > 0$, подходит только корень $x = -1 + \sqrt{3}$. **Ответ: $-1 + \sqrt{3}$**