Разложение на множители, решение уравнений и формулы сокращенного умножения.

Привет! Давай разберем эти алгебраические задачи. Они основаны на формулах сокращенного умножения (ФСУ) и методах разложения на множители. ### 1. Разложение на множители (Разность квадратов: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$) 1) $7a^2 - 7b^2 = 7(a^2 - b^2) = 7(a-b)(a+b)$ 2) $49a^2 - 4b^2 = (7a)^2 - (2b)^2 = (7a-2b)(7a+2b)$ 3) $9x^2 - y^2 = (3x)^2 - y^2 = (3x-y)(3x+y)$ 4) $16x^2 - 121y^2 = (4x)^2 - (11y)^2 = (4x-11y)(4x+11y)$ 5) $81 - 100p^2 = 9^2 - (10p)^2 = (9-10p)(9+10p)$ 6) $(x+2)^2 - 49 = (x+2)^2 - 7^2 = (x+2-7)(x+2+7) = (x-5)(x+9)$ 7) $(x-10)^2 - 25y^2 = (x-10)^2 - (5y)^2 = (x-10-5y)(x-10+5y)$ 8) $25 - (y-3)^2 = 5^2 - (y-3)^2 = (5-(y-3))(5+(y-3)) = (5-y+3)(5+y-3) = (8-y)(2+y)$ 9) $(x-2)^2 - 4 = (x-2)^2 - 2^2 = (x-2-2)(x-2+2) = (x-4)x$ 10) $(b+7)^2 - 100b^2 = (b+7)^2 - (10b)^2 = (b+7-10b)(b+7+10b) = (7-9b)(11b+7)$ ### 2. Решите уравнения 1) $x^2 - 49 = 0 \Rightarrow (x-7)(x+7) = 0 \Rightarrow x_1 = 7, x_2 = -7$ 2) $9x^2 - 4 = 0 \Rightarrow (3x-2)(3x+2) = 0 \Rightarrow x_1 = \frac{2}{3}, x_2 = -\frac{2}{3}$ 3) $0,04x^2 - 1 = 0 \Rightarrow (0,2x-1)(0,2x+1) = 0 \Rightarrow x_1 = 5, x_2 = -5$ 4) $4x^2 - 9 = 0 \Rightarrow (2x-3)(2x+3) = 0 \Rightarrow x_1 = 1,5, x_2 = -1,5$ 5) $81x^2 - 121 = 0 \Rightarrow (9x-11)(9x+11) = 0 \Rightarrow x_1 = \frac{11}{9}, x_2 = -\frac{11}{9}$ 6) $(3x-5)^2 - 49 = 0 \Rightarrow (3x-5-7)(3x-5+7) = 0 \Rightarrow (3x-12)(3x+2) = 0 \Rightarrow x_1 = 4, x_2 = -\frac{2}{3}$ 7) $(4x+7)^2 - 9x^2 = 0 \Rightarrow (4x+7-3x)(4x+7+3x) = 0 \Rightarrow (x+7)(7x+7) = 0 \Rightarrow x_1 = -7, x_2 = -1$ 8) $16 - (6-11x)^2 = 0 \Rightarrow (4-(6-11x))(4+(6-11x)) = 0 \Rightarrow (4-6+11x)(4+6-11x) = 0 \Rightarrow (11x-2)(10-11x) = 0 \Rightarrow x_1 = \frac{2}{11}, x_2 = \frac{10}{11}$ 9) $25 - (a+7)^2 = 0 \Rightarrow (5-(a+7))(5+(a+7)) = 0 \Rightarrow (5-a-7)(12+a) = 0 \Rightarrow (-a-2)(a+12) = 0 \Rightarrow a_1 = -2, a_2 = -12$ 10) $(5y-6)^2 - 81 = 0 \Rightarrow (5y-6-9)(5y-6+9) = 0 \Rightarrow (5y-15)(5y+3) = 0 \Rightarrow y_1 = 3, y_2 = -0,6$ ### 3. Разложите на множители (Разность кубов/Квадрат суммы/разности) 1) $5x^2 - 5y^2 = 5(x^2 - y^2) = 5(x-y)(x+y)$ 2) $am^2 - an^2 = a(m^2 - n^2) = a(m-n)(m+n)$ 3) $2ax^2 - 2ay^2 = 2a(x^2 - y^2) = 2a(x-y)(x+y)$ 4) $9p^2 - 9 = 9(p^2 - 1) = 9(p-1)(p+1)$ 5) $75 - 27c^2 = 3(25 - 9c^2) = 3(5-3c)(5+3c)$ 6) $y^3 - y^5 = y^3(1-y^2) = y^3(1-y)(1+y)$ ### 4. Разложите на множители (Квадрат трехчлена) 1) $4x^2 + 12x + 9 = (2x+3)^2$ 2) $25b^2 + 10b + 1 = (5b+1)^2$ 3) $9x^2 - 24xy + 16y^2 = (3x-4y)^2$ 4) $81a^2 - 18ab + b^2 = (9a-b)^2$ 5) $b^2 + 8ab + 16a^2 = (b+4a)^2$ ### 5. Представьте в виде произведения (Сумма/разность кубов) 1) $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2-xy+y^2)$ 2) $m^3 - n^3 = (m-n)(m^2+mn+n^2)$ 3) $8 + a^3 = 2^3 + a^3 = (2+a)(4-2a+a^2)$ 4) $27 - y^3 = 3^3 - y^3 = (3-y)(9+3y+y^2)$ 5) $125 + a^3 = 5^3 + a^3 = (5+a)(25-5a+a^2)$ 6) $8a^3 - 1 = (2a)^3 - 1^3 = (2a-1)(4a^2+2a+1)$ 7) $27y^3 + 1 = (3y)^3 + 1^3 = (3y+1)(9y^2-3y+1)$ 8) $125a^3 - 64b^3 = (5a)^3 - (4b)^3 = (5a-4b)(25a^2+20ab+16b^2)$ 9) $27n^3 - m^3 = (3n)^3 - m^3 = (3n-m)(9n^2+3nm+m^2)$ 10) $64x^3 + 1 = (4x)^3 + 1^3 = (4x+1)(16x^2-4x+1)$ ### 6. Разложите на множители (Группировка) 1) $3a^2 + 6ab + 3b^2 = 3(a^2 + 2ab + b^2) = 3(a+b)^2$ 2) $5m^2 - 10mn + 5n^2 = 5(m^2 - 2mn + n^2) = 5(m-n)^2$ 3) $-7b^2 - 14bc - 7c^2 = -7(b^2 + 2bc + c^2) = -7(b+c)^2$ 4) $-3x^2 + 12x - 12 = -3(x^2 - 4x + 4) = -3(x-2)^2$ 5) $8x^2 + 16xy + 8y^2 = 8(x^2 + 2xy + y^2) = 8(x+y)^2$