исследовать на сходимость ряд sum_{n=1}^infty 1/4^n (1 + 1/n)^{n^2}

$исследовать на сходимость ряд sum_{n=1}^infty 1/4^n (1 + 1/n)^{n^2}$

Фотография

Ответ ассистента

Для исследования ряда на сходимость воспользуемся признаком Коши. Общий член ряда имеет вид: $a_n = \frac{1}{4^n} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n^2} = \left( \frac{1}{4} \cdot \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \right)^n$ Вычислим предел корня n-ой степени: $L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{4} \cdot \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \right)$ Так как $\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e$, получаем: $L = \frac{1}{4} \cdot e = \frac{e}{4}$ Так как $e \approx 2{,}718$, то $L = \frac{2{,}718}{4} < 1$. Поскольку предел $L < 1$, то согласно признаку Коши, данный ряд сходится. **Ответ: ряд сходится.**

Задать вопрос История вопросов

Другие решения

Что ещё задавали пользователи