1. Найти область определения функции y = 5x / (sqrt(x)-3)

1. Функция определена, когда знаменатель не равен нулю и выражение под корнем неотрицательно: $\sqrt{x} - 3 \neq 0 \Rightarrow \sqrt{x} \neq 3 \Rightarrow x \neq 9$. Также $x \geq 0$. Область определения: $x \in [0; 9) \cup (9; +\infty)$. 2. $9^{1/3} \cdot 81^{1/3} = (9 \cdot 81)^{1/3} = 729^{1/3} = 9$. 3. $\frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{8}}{\sqrt{2}} = \sqrt{3} \cdot \sqrt{\frac{8}{2}} = \sqrt{3} \cdot \sqrt{4} = 2\sqrt{3}$. 4. $(\frac{1}{2})^x = \frac{1}{64} \Rightarrow (2^{-1})^x = 2^{-6} \Rightarrow -x = -6 \Rightarrow x = 6$. 5. $3^{2 + \log_3 7} = 3^2 \cdot 3^{\log_3 7} = 9 \cdot 7 = 63$. 6. $\log_2(2x + 1) - \log_2 3 = 3 \Rightarrow \log_2(\frac{2x + 1}{3}) = 3 \Rightarrow \frac{2x + 1}{3} = 2^3 \Rightarrow \frac{2x + 1}{3} = 8 \Rightarrow 2x + 1 = 24 \Rightarrow 2x = 23 \Rightarrow x = 11,5$. 7. $\cos x + \sin x - \cos x = \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow \sin x = \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow x = (-1)^n \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$. 8. $y' = (4x^2)' + (6)' - (\cos x)' = 8x + 0 - (-\sin x) = 8x + \sin x$. 9. $f'(x) = -3x^2$. Коэффициент касательной $k = f'(x_0) = -3(-1)^2 = -3$. 10. Площадь полной поверхности $S = 2(ab + bc + ac) = 2(3 \cdot 4 + 4 \cdot 6 + 3 \cdot 6) = 2(12 + 24 + 18) = 2 \cdot 54 = 108$.