Прямая а параллельна плоскости α. Докажите, что если плоскость β пересекает прямую а, то она пересекает и плоскость α.

Дано: 1. Прямая $a$ параллельна плоскости $\alpha$ ($a \parallel \alpha$). 2. Плоскость $\beta$ пересекает прямую $a$ в некоторой точке $M$ ($M = a \cap \beta$). Доказать: плоскость $\beta$ пересекает плоскость $\alpha$. Доказательство: 1. Так как прямая $a$ и точка $M$ принадлежат плоскости $\beta$ (по условию $M$ — точка пересечения $a$ и $\beta$), то плоскость $\beta$ содержит прямую $a$. 2. Плоскость $\alpha$ содержит прямую $a$ или не содержит? По условию $a \parallel \alpha$. По определению, прямая параллельна плоскости, если она не имеет с ней общих точек. 3. Рассмотрим плоскости $\alpha$ и $\beta$. У них есть общая точка $M$ (так как $M$ лежит на прямой $a$, которая лежит в $\beta$, и $M$ лежит на прямой, принадлежащей $\beta$). 4. Если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку. 5. Пусть $b$ — линия пересечения плоскостей $\alpha$ и $\beta$. Тогда $b$ проходит через точку $M$. 6. Прямая $b$ лежит в плоскости $\alpha$. Прямая $a$ также параллельна плоскости $\alpha$. Так как плоскость $\beta$ проходит через прямую $a$ и пересекает плоскость $\alpha$ по прямой $b$, то $b \parallel a$. 7. Таким образом, плоскость $\beta$ пересекает плоскость $\alpha$ по прямой $b$, параллельной прямой $a$. Ч.Т.Д.