Найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной прямыми x = a, x = b, осью Ox и графиком функции y = f(x):

Для нахождения площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции $y=f(x)$, прямыми $x=a$ и $x=b$ и осью $Ox$, используем формулу Ньютона-Лейбница: $S = \int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)$. **Задача 1000** 1) $S = \int_2^4 x^3 dx = [\frac{x^4}{4}]_2^4 = \frac{4^4}{4} - \frac{2^4}{4} = \frac{256}{4} - \frac{16}{4} = 64 - 4 = 60$. 2) $S = \int_3^4 x^2 dx = [\frac{x^3}{3}]_3^4 = \frac{4^3}{3} - \frac{3^3}{3} = \frac{64}{3} - 9 = \frac{64-27}{3} = \frac{37}{3} = 12\frac{1}{3}$. 3) $S = \int_{-2}^1 (x^2+1) dx = [\frac{x^3}{3} + x]_{-2}^1 = (\frac{1}{3} + 1) - (\frac{(-2)^3}{3} - 2) = \frac{4}{3} - (-\frac{8}{3} - 2) = \frac{4}{3} + \frac{8}{3} + 2 = \frac{12}{3} + 2 = 4+2=6$. 4) $S = \int_0^2 (x^3+1) dx = [\frac{x^4}{4} + x]_0^2 = (\frac{16}{4} + 2) - 0 = 4+2=6$. 5) $S = \int_{\pi/3}^{2\pi/3} \sin x dx = [-\cos x]_{\pi/3}^{2\pi/3} = -\cos(\frac{2\pi}{3}) - (-\cos(\frac{\pi}{3})) = -(-\frac{1}{2}) + \frac{1}{2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$. 6) $S = \int_{-\pi/6}^0 \cos x dx = [\sin x]_{-\pi/6}^0 = \sin 0 - \sin(-\frac{\pi}{6}) = 0 - (-0.5) = 0.5$. **Задача 1001** Фигура ограничена осью $Ox$, поэтому пределы интегрирования — это корни уравнения $f(x)=0$. 1) $4-x^2=0 \implies x^2=4 \implies x = \pm 2$. $S = \int_{-2}^2 (4-x^2) dx = 2 \int_0^2 (4-x^2) dx = 2 [4x - \frac{x^3}{3}]_0^2 = 2(8 - \frac{8}{3}) = 2(\frac{24-8}{3}) = \frac{32}{3} = 10\frac{2}{3}$. 2) $1-x^2=0 \implies x = \pm 1$. $S = \int_{-1}^1 (1-x^2) dx = 2 \int_0^1 (1-x^2) dx = 2 [x - \frac{x^3}{3}]_0^1 = 2(1 - \frac{1}{3}) = 2 \cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3}$. 3) $-x^2+4x-3=0 \implies x^2-4x+3=0$. По теореме Виета $x_1=1, x_2=3$. $S = \int_1^3 (-x^2+4x-3) dx = [-\frac{x^3}{3} + 2x^2 - 3x]_1^3 = (-9 + 18 - 9) - (-\frac{1}{3} + 2 - 3) = 0 - (-1 - \frac{1}{3}) = 1\frac{1}{3}$.