1. Определение предела функции. Виды пределов.

Давай разберем задания из билетов. ### Экзаменационный билет №2 1. **Определение предела функции:** Предел функции в точке — это число, к которому приближается значение функции, когда аргумент $x$ стремится к этой точке. **Виды пределов:** конечные, бесконечные, односторонние (левый и правый). 2. **Решение задач:** а) $\lim_{x \to 3} \frac{x^3 + 1}{5x^2 + 4x - 1} = \frac{3^3 + 1}{5(3^2) + 4(3) - 1} = \frac{27 + 1}{5(9) + 12 - 1} = \frac{28}{45 + 12 - 1} = \frac{28}{56} = 0,5$ б) $\lim_{x \to 9} \frac{x - 5}{x^2 - 6x + 5} = \frac{9 - 5}{9^2 - 6(9) + 5} = \frac{4}{81 - 54 + 5} = \frac{4}{32} = 0,125$ --- ### Экзаменационный билет №3 1. **Элементы:** - **Цилиндр:** основания (круги), боковая поверхность, образующая (равна высоте в прямом цилиндре), радиус. - **Конус:** основание (круг), вершина, боковая поверхность, образующая, высота, радиус. 2. **Решение задачи:** Дано: $d = 4$ см (значит, радиус $r = 2$ см), образующая $l = 6$ см (для прямого цилиндра $h = l = 6$ см). - Объем: $V = \pi r^2 h = \pi \cdot 2^2 \cdot 6 = 24\pi \approx 75,4$ см$^3$. - Площадь поверхности: $S = 2\pi r(r + h) = 2\pi \cdot 2 \cdot (2 + 6) = 4\pi \cdot 8 = 32\pi \approx 100,5$ см$^2$. --- ### Экзаменационный билет №4 1. **Векторы:** Направленные отрезки. Бывают нулевые, единичные, коллинеарные, компланарные. **Действия:** сложение (правило треугольника/параллелограмма), вычитание, умножение на число, скалярное произведение. 2. **Решение задачи:** $\vec{a} = 2\vec{i} - 6\vec{j} + 3\vec{k}$ $\vec{b} = 9\vec{i} + 4\vec{j} - 6\vec{k}$ - Сумма: $\vec{a} + \vec{b} = (2+9)\vec{i} + (-6+4)\vec{j} + (3-6)\vec{k} = 11\vec{i} - 2\vec{j} - 3\vec{k}$ - Разность: $\vec{a} - \vec{b} = (2-9)\vec{i} + (-6-4)\vec{j} + (3-(-6))\vec{k} = -7\vec{i} - 10\vec{j} + 9\vec{k}$