1. Определение предела функции. Виды пределов.

Решу задачи из представленных экзаменационных билетов. ### Билет №3 **Задача: Чему равен объём и площадь поверхности цилиндра, если известно: диаметр основания равен 4 см, длина образующей цилиндра 6 см.** 1. Дано: $d = 4$ см, следовательно радиус $r = d / 2 = 2$ см. Образующая $h = 6$ см. 2. Площадь основания $S_{осн} = \pi r^2 = \pi \cdot 2^2 = 4\pi$ см$^2$. 3. Объём цилиндра $V = S_{осн} \cdot h = 4\pi \cdot 6 = 24\pi$ см$^3$ $\approx 75.4$ см$^3$. 4. Площадь полной поверхности $S = 2S_{осн} + S_{бок}$. Площадь боковой поверхности $S_{бок} = 2\pi rh = 2\pi \cdot 2 \cdot 6 = 24\pi$ см$^2$. 5. Полная площадь $S = 2(4\pi) + 24\pi = 8\pi + 24\pi = 32\pi$ см$^2$ $\approx 100.53$ см$^2$. **Ответ: $V = 24\pi$ см$^3$, $S = 32\pi$ см$^2$.** ### Билет №4 **Задача: Вычислить сумму и разность векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$, если: $\vec{a} = 2\vec{i} - 6\vec{j} + 3\vec{k}$ и $\vec{b} = 9\vec{i} + 4\vec{j} - 6\vec{k}$.** 1. Сумма векторов $\vec{a} + \vec{b} = (2+9)\vec{i} + (-6+4)\vec{j} + (3-6)\vec{k} = 11\vec{i} - 2\vec{j} - 3\vec{k}$. 2. Разность векторов $\vec{a} - \vec{b} = (2-9)\vec{i} + (-6-4)\vec{j} + (3-(-6))\vec{k} = -7\vec{i} - 10\vec{j} + 9\vec{k}$. **Ответ: $\vec{a} + \vec{b} = 11\vec{i} - 2\vec{j} - 3\vec{k}$; $\vec{a} - \vec{b} = -7\vec{i} - 10\vec{j} + 9\vec{k}$.** ### Верхний билет (без номера) **а) $\lim_{x \to 3} \frac{x^3 + 1}{5x^2 + 4x - 1}$** Подставим $x = 3$: $\frac{3^3 + 1}{5(3^2) + 4(3) - 1} = \frac{27 + 1}{5(9) + 12 - 1} = \frac{28}{45 + 11} = \frac{28}{56} = 0.5$. **б) $\lim_{x \to 9} \frac{x-5}{x^2-6x+5}$** Подставим $x = 9$: $\frac{9-5}{9^2-6(9)+5} = \frac{4}{81-54+5} = \frac{4}{32} = 0.125$.