Контрольная работа № 4. Вариант 2.

Привет! Давай разберем твою контрольную работу по тригонометрии. Вот решения: 1. Чтобы перевести градусы в радианы, умножаем на $\frac{\pi}{180^\circ}$: $80^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{8\pi}{18} = \frac{4\pi}{9}$. Ответ: **в) $\frac{4\pi}{9}$**. 2. Чтобы перевести радианы в градусы, умножаем на $\frac{180^\circ}{\pi}$: $\frac{5\pi}{36} \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = 5 \cdot 5^\circ = 25^\circ$. Ответ: **а) $25^\circ$**. 3. Угол $-123^\circ$ находится между $-90^\circ$ и $-180^\circ$, это III четверть. Ответ: **в) III**. 4. $\frac{5\pi}{12} = \frac{5 \cdot 180^\circ}{12} = 5 \cdot 15^\circ = 75^\circ$. Это I четверть. Ответ: **а) I**. 5. $314^\circ$ — это IV четверть, там тангенс отрицательный. Ответ: **б) $\text{tg} 314^\circ < 0$**. 6. $4\cos \frac{7\pi}{3} - \text{ctg} \frac{\pi}{4} = 4\cos(2\pi + \frac{\pi}{3}) - 1 = 4 \cdot \frac{1}{2} - 1 = 2 - 1 = 1$. Ответ: **б) 1**. 7. По формулам приведения: $\cos(3\pi + \alpha) = \cos(\pi + \alpha) = -\cos \alpha$. Ответ: **г) $-\cos \alpha$**. 8. $\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Общее решение: $x = (-1)^n \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$. Ответ: **а) $x = (-1)^n \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$**. 9. $\cos x + 1 = 0 \Rightarrow \cos x = -1$. Это верно при $x = \pi + 2\pi n$. Ответ: **в) $x = \pi + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$**. 10. $\sin \alpha = \frac{1}{3}, \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$ (II четверть, косинус отрицательный). $\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$. $\cos \alpha = -\sqrt{\frac{8}{9}} = -\frac{2\sqrt{2}}{3}$. *Примечание: среди вариантов ответа правильного нет, вероятно, опечатка в условии.* 11. $6\cos^2 x + \cos x - 1 = 0$. Пусть $t = \cos x$, тогда $6t^2 + t - 1 = 0$. Корни уравнения: $t_1 = \frac{1}{3}, t_2 = -\frac{1}{2}$. $\cos x = \frac{1}{3} \Rightarrow x = \pm \arccos(\frac{1}{3}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$. $\cos x = -\frac{1}{2} \Rightarrow x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$. 12. $5\sin x - \sin 2x = 0 \Rightarrow 5\sin x - 2\sin x \cos x = 0$. $\sin x(5 - 2\cos x) = 0$. 1) $\sin x = 0 \Rightarrow x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$. 2) $5 - 2\cos x = 0 \Rightarrow \cos x = 2,5$ (корней нет, т.к. $|\cos x| \le 1$). Ответ: $x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$.