1. Переведите угол 80 в радианы:

Вот решения заданий из контрольной работы: 1. Переведем градусы в радианы по формуле $\alpha_{rad} = \alpha_{deg} \cdot \frac{\pi}{180^\circ}$: $\frac{80^\circ \cdot \pi}{180^\circ} = \frac{80\pi}{180} = \frac{4\pi}{9}$. **Ответ: в)**. 2. Переведем радианы в градусы по формуле $\alpha_{deg} = \alpha_{rad} \cdot \frac{180^\circ}{\pi}$: $\frac{5\pi}{36} \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = 5 \cdot 5^\circ = 25^\circ$. **Ответ: а)**. 3. Угол $-123^\circ$ отсчитывается по часовой стрелке. Он попадает в промежуток $(-90^\circ; -180^\circ)$, что соответствует III четверти. **Ответ: в)**. 4. Угол $\frac{5\pi}{12}$ равен $75^\circ$, что находится в диапазоне $(0^\circ; 90^\circ)$, то есть I четверть. **Ответ: а)**. 5. Угол $314^\circ$ находится в IV четверти. В IV четверти тангенс принимает отрицательные значения. **Ответ: б)**. 6. $4 \cos\frac{2\pi}{3} - ctg\frac{\pi}{4} = 4 \cdot (-\frac{1}{2}) - 1 = -2 - 1 = -3$. (Вероятно, в вариантах ответа опечатка). 7. По формулам приведения $\cos(3\pi + \alpha) = \cos(\pi + \alpha) = -\cos\alpha$. **Ответ: г)**. 8. Решение уравнения $\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$: $x = (-1)^n \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$. **Ответ: а)**. 9. $\cos x + 1 = 0 \Rightarrow \cos x = -1$. Это частный случай, решение $x = \pi + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$. **Ответ: в)**. 10. Так как $\sin \alpha = \frac{1}{3}$ и $\alpha$ во II четверти (косинус отрицателен): $\cos \alpha = -\sqrt{1 - \sin^2 \alpha} = -\sqrt{1 - \frac{1}{9}} = -\sqrt{\frac{8}{9}} = -\frac{2\sqrt{2}}{3}$. (Правильного ответа нет в списке). 11. $6\cos^2 x + \cos x - 1 = 0$. Пусть $t = \cos x$, $6t^2 + t - 1 = 0$. Корни квадратного уравнения: $t_1 = \frac{1}{3}$, $t_2 = -\frac{1}{2}$. $\cos x = \frac{1}{3} \Rightarrow x = \pm \arccos\frac{1}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$. $\cos x = -\frac{1}{2} \Rightarrow x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$. 12. $5\sin x - \sin 2x = 0 \Rightarrow 5\sin x - 2\sin x \cos x = 0$. $\sin x(5 - 2\cos x) = 0$. 1) $\sin x = 0 \Rightarrow x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$. 2) $5 - 2\cos x = 0 \Rightarrow \cos x = 2,5$ (корней нет, так как $\cos x \in [-1; 1]$). **Ответ: $x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$**.