7. а) Решите уравнение: 2 sin^2 x - sqrt(3) sin x / sqrt(-cos x) = 0.

Для решения данного уравнения воспользуемся условием равенства дроби нулю: числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. ### а) Решение уравнения Дано уравнение: $\frac{2 \sin^2 x - \sqrt{3} \sin x}{\sqrt{-\cos x}} = 0$ 1. **Область допустимых значений (ОДЗ):** Выражение под корнем должно быть строго положительным (так как знаменатель не может быть равен 0): $-\cos x > 0 \implies \cos x < 0$. 2. **Числитель равен 0:** $2 \sin^2 x - \sqrt{3} \sin x = 0$ $\sin x (2 \sin x - \sqrt{3}) = 0$ * Случай 1: $\sin x = 0$ $x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$. Проверим ОДЗ ($\cos x < 0$): Если $x = \pi k$ (четные), $\cos x = 1 > 0$ (не подходит). Если $x = \pi + 2\pi n$ (нечетные), $\cos x = -1 < 0$ (подходит). Значит, $x = \pi + 2\pi n$ или $x = \pi(2n+1)$. * Случай 2: $\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k$ или $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$. Проверим ОДЗ ($\cos x < 0$): Для $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k$, $\cos x = \frac{1}{2} > 0$ (не подходит). Для $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, $\cos x = -\frac{1}{2} < 0$ (подходит). **Ответ а:** $x = \pi + 2\pi n$, $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$. ### б) Отбор корней на отрезке $[\frac{5\pi}{2}; 4\pi]$ Наш отрезок находится в пределах от $2,5\pi$ до $4\pi$. 1. Для серии $x = \pi + 2\pi n$: * При $n=1: x = 3\pi$ (принадлежит отрезку). 2. Для серии $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$: * При $n=1: x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi = \frac{8\pi}{3} \approx 2,67\pi$ (принадлежит отрезку). * При $n=2: x = \frac{2\pi}{3} + 4\pi > 4\pi$ (не принадлежит). **Ответ б:** $\frac{8\pi}{3}, 3\pi$.