Найдите все корни уравнения 3cos 2x + 4 = 5sin(x - 3π/2). Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [-π/2; π].

Для решения уравнения $3\cos 2x + 4 = 5\sin(x - \frac{3\pi}{2})$ воспользуемся формулами приведения и тригонометрическими тождествами. 1. Преобразуем правую часть уравнения: $\sin(x - \frac{3\pi}{2}) = \sin(x - (\pi + \frac{\pi}{2})) = \sin(x - \frac{\pi}{2} - \pi) = -\sin(x - \frac{\pi}{2}) = \cos x$. Тогда уравнение принимает вид: $3\cos 2x + 4 = 5\cos x$. 2. Используем формулу косинуса двойного угла $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$: $3(2\cos^2 x - 1) + 4 = 5\cos x$ $6\cos^2 x - 3 + 4 = 5\cos x$ $6\cos^2 x - 5\cos x + 1 = 0$. 3. Сделаем замену $t = \cos x$, где $t \in [-1; 1]$: $6t^2 - 5t + 1 = 0$. Дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 1 = 25 - 24 = 1$. $t_1 = \frac{5 + 1}{12} = \frac{1}{2}$, $t_2 = \frac{5 - 1}{12} = \frac{1}{3}$. 4. Вернемся к переменной $x$: а) $\cos x = \frac{1}{2} \Rightarrow x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$. б) $\cos x = \frac{1}{3} \Rightarrow x = \pm \arccos(\frac{1}{3}) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$. 5. Найдем корни, принадлежащие промежутку $[-\frac{\pi}{2}; \pi]$: - Из серии $\pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$: при $n=0$ подходят $\frac{\pi}{3}$ и $-\frac{\pi}{3}$. - Из серии $\pm \arccos(\frac{1}{3}) + 2\pi k$: при $k=0$ подходит $\arccos(\frac{1}{3})$ (так как $0 < \arccos(\frac{1}{3}) < \frac{\pi}{2} < \pi$). Значение $-\arccos(\frac{1}{3})$ также входит в промежуток. Ответ: $\pm \frac{\pi}{3}; \pm \arccos(\frac{1}{3})$.