Вычислить определенный интеграл: интеграл от 0 до a от корня из (a^2 - x^2) по dx.

Для решения этого определенного интеграла воспользуемся методом замены переменной (тригонометрической подстановкой). Пусть $x = a \cdot \sin(t)$. Тогда дифференциал $dx = a \cdot \cos(t) dt$. Изменим пределы интегрирования: 1. При $x = 0$: $a \cdot \sin(t) = 0 \implies t = 0$. 2. При $x = a$: $a \cdot \sin(t) = a \implies \sin(t) = 1 \implies t = \frac{\pi}{2}$. Подставим в интеграл: $$\int_{0}^{a} \sqrt{a^2 - x^2} dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{a^2 - a^2 \sin^2(t)} \cdot a \cos(t) dt$$ Вынесем $a^2$ из-под корня: $$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{a^2(1 - \sin^2(t))} \cdot a \cos(t) dt = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} a \cos(t) \cdot a \cos(t) dt = a^2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^2(t) dt$$ Используем формулу понижения степени $\cos^2(t) = \frac{1 + \cos(2t)}{2}$: $$a^2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 + \cos(2t)}{2} dt = \frac{a^2}{2} \left[ t + \frac{\sin(2t)}{2} \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}$$ Подставим пределы: $$\frac{a^2}{2} \left( \left( \frac{\pi}{2} + \frac{\sin(\pi)}{2} \right) - (0 + 0) \right) = \frac{a^2}{2} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi a^2}{4}$$ Ответ: $\frac{\pi a^2}{4}$. Геометрически это площадь четверти круга радиуса $a$.