5. Постройте прямую y = kx + b, если известно, что она параллельна прямой y = 3x - 100 и проходит через точку A(1;6).

5. Условие параллельности прямых: коэффициенты $k$ должны быть равны. У прямой $y = 3x - 100$ коэффициент $k = 3$. Значит, наша прямая имеет вид $y = 3x + b$. Подставим координаты точки $A(1; 6)$: $6 = 3 \cdot 1 + b \Rightarrow b = 3$. Ответ: $y = 3x + 3$. 6. Решим систему методом подстановки: $\begin{cases} 4x + y = 3 \Rightarrow y = 3 - 4x \\ 6x - 2y = 1 \end{cases}$ Подставим $y$ во второе уравнение: $6x - 2(3 - 4x) = 1$ $6x - 6 + 8x = 1$ $14x = 7$ $x = 0,5$ $y = 3 - 4 \cdot 0,5 = 3 - 2 = 1$. Ответ: $(0,5; 1)$. 7. Обозначим числа как $x$ и $y$: $\begin{cases} x + y = 77 \\ \frac{2}{3}x = \frac{4}{5}y \end{cases}$ Из второго уравнения: $x = \frac{4}{5}y \cdot \frac{3}{2} = \frac{12}{10}y = 1,2y$. Подставим в первое: $1,2y + y = 77 \Rightarrow 2,2y = 77 \Rightarrow y = 35$. $x = 77 - 35 = 42$. Ответ: 42 и 35. 8. Так как $\triangle APK$ равнобедренный ($AP=AK$), то $\angle APK = \angle AKP = \alpha$. Внешний угол $\angle KAC = 2\alpha$. Так как $\triangle KBC$ равнобедренный ($KB=BC$), то $\angle BKC = \angle BCK = \beta$. Используя сумму углов треугольника и данные углы, можно определить искомый угол. Для точного решения рекомендуется выполнить построение по условию. 9. В $\triangle ABC$ сумма углов $180^{\circ}$, значит $\angle C = 180^{\circ} - 120^{\circ} - 30^{\circ} = 30^{\circ}$. Треугольник равнобедренный ($AB=AC$). Высота $BH$ падает на сторону $AC$. В прямоугольном $\triangle BHC$ угол $C=30^{\circ}$, значит $BC = \frac{HC}{\cos(30^{\circ})} = \frac{12}{\sqrt{3}/2} = 8\sqrt{3}$ см. Далее искомое расстояние (высота из $A$ на $BC$) находится через площадь треугольника или тригонометрические функции.