12. Вычислить с точностью до 0,001 определенный интеграл, разложив подынтегральную функцию в степенной ряд и почленно его проинтегрировав

Для вычисления определенного интеграла $\int_{-1}^{1} \sin(x^2) dx$ с точностью до $0,001$ воспользуемся разложением функции $\sin(t)$ в ряд Тейлора: $\sin(t) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n t^{2n+1}}{(2n+1)!} = t - \frac{t^3}{3!} + \frac{t^5}{5!} - \frac{t^7}{7!} + \dots$ Подставим $t = x^2$: $\sin(x^2) = x^2 - \frac{x^6}{6} + \frac{x^{10}}{120} - \dots$ Теперь проинтегрируем почленно на отрезке $[-1, 1]$: $\int_{-1}^{1} \sin(x^2) dx = \int_{-1}^{1} \left( x^2 - \frac{x^6}{6} + \frac{x^{10}}{120} - \dots \right) dx$ Так как функция $\sin(x^2)$ четная, можно вычислить интеграл как $2 \int_{0}^{1} \dots dx$: $= 2 \left[ \frac{x^3}{3} - \frac{x^7}{6 \cdot 7} + \frac{x^{11}}{120 \cdot 11} - \dots \right]_{0}^{1} = 2 \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{42} + \frac{1}{1320} - \dots \right)$ Вычислим первые члены: $2 \left( 0,333333 - 0,023809 + 0,000757 - \dots \right) \approx 2 \left( 0,310281 \right) \approx 0,62056$ Третий член $\frac{2}{1320} \approx 0,0015$, что больше необходимой точности. Рассмотрим следующий член: Следующий член ряда: $-\frac{x^{14}}{7!} \Rightarrow$ интеграл: $-2 \int_{0}^{1} \frac{x^{14}}{5040} dx = -2 \left[ \frac{x^{15}}{15 \cdot 5040} \right]_{0}^{1} = - \frac{2}{75600} \approx -0,000026$ Суммируем: $2 \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{42} + \frac{1}{1320} - \frac{1}{75600} \right) \approx 2 (0,333333 - 0,023810 + 0,000758 - 0,000013) = 2 \cdot 0,310268 = 0,620536$ Округляя до $0,001$, получаем $0,621$. **Ответ: 0,621**