370. Найдите объем тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, ограниченной линиями: а) y = x^2 + 1, x=0, x=1, y=0; б) y = √x, x=1, x=4, y=0; в) y = √x, x=1, y=0; г) y = 1 - x^2, y=0.

Для нахождения объема тела, полученного при вращении криволинейной трапеции вокруг оси абсцисс ($Ox$), используем формулу: $V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 dx$ а) $y = x^2 + 1$, $x=0$, $x=1$, $y=0$ $V = \pi \int_{0}^{1} (x^2 + 1)^2 dx = \pi \int_{0}^{1} (x^4 + 2x^2 + 1) dx = \pi \left[ \frac{x^5}{5} + \frac{2x^3}{3} + x \right]_{0}^{1} = \pi \left( \frac{1}{5} + \frac{2}{3} + 1 \right) = \pi \left( \frac{3 + 10 + 15}{15} \right) = \frac{28}{15}\pi$ б) $y = \sqrt{x}$, $x=1$, $x=4$, $y=0$ $V = \pi \int_{1}^{4} (\sqrt{x})^2 dx = \pi \int_{1}^{4} x dx = \pi \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{1}^{4} = \pi \left( \frac{16}{2} - \frac{1}{2} \right) = \pi \left( 8 - 0.5 \right) = 7.5\pi = \frac{15}{2}\pi$ в) $y = \sqrt{x}$, $x=1$, $y=0$. (Предположим, что фигура ограничена также осью $Oy$, т.е. $x=0$) $V = \pi \int_{0}^{1} (\sqrt{x})^2 dx = \pi \int_{0}^{1} x dx = \pi \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{1} = \pi \left( \frac{1}{2} - 0 \right) = 0.5\pi = \frac{\pi}{2}$ г) $y = 1 - x^2$, $y=0$. (Найдем пределы интегрирования, приравняв $y=0$: $1-x^2=0$, откуда $x = \pm 1$) $V = \pi \int_{-1}^{1} (1 - x^2)^2 dx = \pi \int_{-1}^{1} (1 - 2x^2 + x^4) dx = 2\pi \int_{0}^{1} (1 - 2x^2 + x^4) dx = 2\pi \left[ x - \frac{2x^3}{3} + \frac{x^5}{5} \right]_{0}^{1} = 2\pi \left( 1 - \frac{2}{3} + \frac{1}{5} \right) = 2\pi \left( \frac{15 - 10 + 3}{15} \right) = 2\pi \left( \frac{8}{15} \right) = \frac{16}{15}\pi$