r) ∫ sin 2x e^5x dx;

Это математическая задача на вычисление неопределенного интеграла, а не физическая задача. Поэтому «Дано» и «Найти» здесь неприменимы. Вычислим интеграл $I = \int \sin(2x) e^{5x} dx$ методом интегрирования по частям. Формула интегрирования по частям: $\int u dv = uv - \int v du$. Пусть: $u = \sin(2x) \implies du = 2 \cos(2x) dx$ $dv = e^{5x} dx \implies v = \frac{1}{5} e^{5x}$ Тогда: $I = \frac{1}{5} e^{5x} \sin(2x) - \int \frac{1}{5} e^{5x} \cdot 2 \cos(2x) dx = \frac{1}{5} e^{5x} \sin(2x) - \frac{2}{5} \int e^{5x} \cos(2x) dx$ Теперь вычислим второй интеграл $J = \int e^{5x} \cos(2x) dx$, снова используя метод интегрирования по частям: $u = \cos(2x) \implies du = -2 \sin(2x) dx$ $dv = e^{5x} dx \implies v = \frac{1}{5} e^{5x}$ $J = \frac{1}{5} e^{5x} \cos(2x) - \int \frac{1}{5} e^{5x} (-2 \sin(2x)) dx = \frac{1}{5} e^{5x} \cos(2x) + \frac{2}{5} \int e^{5x} \sin(2x) dx$ Заметим, что $\int e^{5x} \sin(2x) dx = I$. Подставим $J$ обратно в выражение для $I$: $I = \frac{1}{5} e^{5x} \sin(2x) - \frac{2}{5} (\frac{1}{5} e^{5x} \cos(2x) + \frac{2}{5} I)$ $I = \frac{1}{5} e^{5x} \sin(2x) - \frac{2}{25} e^{5x} \cos(2x) - \frac{4}{25} I$ Перенесем слагаемое с $I$ влево: $I + \frac{4}{25} I = \frac{1}{5} e^{5x} \sin(2x) - \frac{2}{25} e^{5x} \cos(2x)$ $\frac{29}{25} I = \frac{5 e^{5x} \sin(2x) - 2 e^{5x} \cos(2x)}{25}$ Умножим на $\frac{25}{29}$: $I = \frac{e^{5x} (5 \sin(2x) - 2 \cos(2x))}{29} + C$ **Ответ:** $\frac{e^{5x} (5 \sin(2x) - 2 \cos(2x))}{29} + C$