Найти угол между прямыми AB1 и CB1 в прямоугольном параллелепипеде с заданными ребрами.

Для решения этой задачи рассмотрим треугольник $AB_1C$, который образован прямыми $AB_1$, $CB_1$ и отрезком $AC$. Нам нужно найти угол $\angle AB_1C = \phi$. 1. **Найдем длины сторон треугольника $AB_1C$:** - Отрезок $AB_1$ является гипотенузой прямоугольного треугольника $ABB_1$ (так как $ABB_1A_1$ — грань прямоугольного параллелепипеда). По теореме Пифагора: $AB_1 = \sqrt{AB^2 + BB_1^2} = \sqrt{1^2 + (\sqrt{5})^2} = \sqrt{1 + 5} = \sqrt{6}$. - Отрезок $CB_1$ является гипотенузой прямоугольного треугольника $BCC_1B_1$. По теореме Пифагора: $CB_1 = \sqrt{BC^2 + BB_1^2} = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + (\sqrt{5})^2} = \sqrt{3 + 5} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$. - Отрезок $AC$ является диагональю основания $ABCD$. По теореме Пифагора для прямоугольника со сторонами $1$ и $\sqrt{3}$: $AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2$. 2. **Найдем угол $\phi$ с помощью теоремы косинусов:** Для треугольника $AB_1C$ теорема косинусов выглядит так: $AC^2 = AB_1^2 + CB_1^2 - 2 \cdot AB_1 \cdot CB_1 \cdot \cos \phi$ Подставим найденные значения: $2^2 = (\sqrt{6})^2 + (\sqrt{8})^2 - 2 \cdot \sqrt{6} \cdot \sqrt{8} \cdot \cos \phi$ $4 = 6 + 8 - 2 \cdot \sqrt{48} \cdot \cos \phi$ $4 = 14 - 2 \cdot 4\sqrt{3} \cdot \cos \phi$ $4 = 14 - 8\sqrt{3} \cdot \cos \phi$ Перенесем значения: $8\sqrt{3} \cdot \cos \phi = 10$ $\cos \phi = \frac{10}{8\sqrt{3}} = \frac{5}{4\sqrt{3}}$ Избавимся от иррациональности в знаменателе: $\cos \phi = \frac{5\sqrt{3}}{12}$ Следовательно, искомый угол равен: $\phi = \arccos\left(\frac{5\sqrt{3}}{12}\right)$. **Ответ:** $\arccos\left(\frac{5\sqrt{3}}{12}\right)$.