Решите уравнения: а) 2cos^2 x- cos x -1=0; б) 3cosx + √3sinx = 0 в) sin2x-√3 cos x =0 г) 8sin^2x + cosx + 1 = 0 д) 2sin^2x - sinxcosx - cos^2x = 0 е) 3tg^2x + 2tgx - 1 = 0 ж)cos^2x - 1 = 0

Привет! Давай разберем эти тригонометрические уравнения. Будем использовать замены и формулы. a) $2\cos^2 x - \cos x - 1 = 0$ Пусть $\cos x = t$, где $|t| \le 1$. Тогда $2t^2 - t - 1 = 0$. Дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 9$. $t_1 = \frac{1+3}{4} = 1$, $t_2 = \frac{1-3}{4} = -0.5$. 1) $\cos x = 1 \implies x = 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$. 2) $\cos x = -0.5 \implies x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$. б) $3\cos x + \sqrt{3}\sin x = 0$ Разделим на $\cos x$ (при условии $\cos x \neq 0$): $3 + \sqrt{3}\text{tg } x = 0 \implies \text{tg } x = -\frac{3}{\sqrt{3}} = -\sqrt{3}$. $x = -\frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$. в) $\sin 2x - \sqrt{3}\cos x = 0$ $2\sin x \cos x - \sqrt{3}\cos x = 0 \implies \cos x (2\sin x - \sqrt{3}) = 0$. 1) $\cos x = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$. 2) $\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2} \implies x = (-1)^n \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$. г) $8\sin^2 x + \cos x + 1 = 0$ $8(1 - \cos^2 x) + \cos x + 1 = 0 \implies -8\cos^2 x + \cos x + 9 = 0 \implies 8\cos^2 x - \cos x - 9 = 0$. Замена $\cos x = t$: $8t^2 - t - 9 = 0$. Корни $t_1 = -1$, $t_2 = \frac{9}{8}$ (не подходит, так как $|t| \le 1$). $\cos x = -1 \implies x = \pi + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$. д) $2\sin^2 x - \sin x \cos x - \cos^2 x = 0$ Разделим на $\cos^2 x$ ($\cos x \neq 0$): $2\text{tg}^2 x - \text{tg } x - 1 = 0$. Замена $\text{tg } x = t$: $2t^2 - t - 1 = 0 i t_1 = 1, t_2 = -0.5$. 1) $\text{tg } x = 1 \implies x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$. 2) $\text{tg } x = -0.5 \implies x = -\text{arctg } 0.5 + \pi n, n \in \mathbb{Z}$. е) $3\text{tg}^2 x + 2\text{tg } x - 1 = 0$ Замена $\text{tg } x = t$: $3t^2 + 2t - 1 = 0$. $D = 4 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 16$. $t_1 = \frac{-2+4}{6} = \frac{1}{3}$, $t_2 = \frac{-2-4}{6} = -1$. 1) $\text{tg } x = \frac{1}{3} \implies x = \text{arctg } \frac{1}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$. 2) $\text{tg } x = -1 \implies x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$. ж) $\cos^2 x - 1 = 0$ $\cos^2 x = 1 \implies \cos x = \pm 1$. $x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$.