Решите уравнения: а) 2cos^2 x - cos x - 1=0;

Привет! Давай решим эти тригонометрические уравнения. Будем использовать основные формулы и методы замены переменной. а) $2\cos^2 x - \cos x - 1 = 0$ Пусть $t = \cos x$, тогда $2t^2 - t - 1 = 0$. Корни квадратного уравнения: $t_1 = 1, t_2 = -1/2$. 1) $\cos x = 1 \Rightarrow x = 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$ 2) $\cos x = -1/2 \Rightarrow x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$ б) $3\cos x + \sqrt{3}\sin x = 0$ Разделим на $\sqrt{3}\cos x$ (при условии $\cos x \neq 0$): $\sqrt{3} + \text{tg} x = 0 \Rightarrow \text{tg} x = -\sqrt{3}$ $x = -\frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$ в) $\sin 2x - \sqrt{3}\cos x = 0$ $2\sin x \cos x - \sqrt{3}\cos x = 0$ $\cos x(2\sin x - \sqrt{3}) = 0$ 1) $\cos x = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$ 2) $\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow x = (-1)^n \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$ г) $8\sin^2 x + \cos x + 1 = 0$ Используем $8(1 - \cos^2 x) + \cos x + 1 = 0 \Rightarrow -8\cos^2 x + \cos x + 9 = 0 \Rightarrow 8\cos^2 x - \cos x - 9 = 0$. Пусть $t = \cos x$: $8t^2 - t - 9 = 0$. $t_1 = -1, t_2 = 9/8$ (не подходит, так как $|t| \leq 1$). $\cos x = -1 \Rightarrow x = \pi + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$ д) $2\sin^2 x - \sin x \cos x - \cos^2 x = 0$ Разделим на $\cos^2 x$ (при $\cos x \neq 0$): $2\text{tg}^2 x - \text{tg} x - 1 = 0$. Пусть $t = \text{tg} x$: $2t^2 - t - 1 = 0$. $t_1 = 1, t_2 = -1/2$. 1) $\text{tg} x = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$ 2) $\text{tg} x = -1/2 \Rightarrow x = -\text{arctg}(1/2) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$ е) $3\text{tg}^2 x + 2\text{tg} x - 1 = 0$ Пусть $t = \text{tg} x$: $3t^2 + 2t - 1 = 0$. Корни $t_1 = -1, t_2 = 1/3$. 1) $\text{tg} x = -1 \Rightarrow x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$ 2) $\text{tg} x = 1/3 \Rightarrow x = \text{arctg}(1/3) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$ ж) $\cos^2 x - 1 = 0$ $\cos^2 x = 1 \Rightarrow \cos x = 1$ или $\cos x = -1$. $x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$