461. а) (2/3)^x * (9/8)^x = 27/64; б) sqrt(8^{x-3}) = cuberoot(4^{2-x}); в) sqrt(2^x) * sqrt(3^x) = 36; г) (3/7)^{3x+1} = (7/3)^{5x-3}.

Привет! Давай решим эти уравнения. Это показательные уравнения. Основная идея — привести обе части к одному основанию или воспользоваться свойствами степеней. ### а) $(2/3)^x \cdot (9/8)^x = 27/64$ Применим свойство $(a \cdot b)^x = a^x \cdot b^x$, объединим левую часть: $( (2/3) \cdot (9/8) )^x = 27/64$ $( 18/24 )^x = 27/64$ Сократим дробь в скобках на 6: $(3/4)^x = 27/64$ Заметим, что $27 = 3^3$, а $64 = 4^3$, значит $27/64 = (3/4)^3$: $(3/4)^x = (3/4)^3$ Так как основания равны, приравниваем показатели: **Ответ: x = 3** ### б) $\sqrt{8^{x-3}} = \sqrt[3]{4^{2-x}}$ Представим числа через двойку: $8 = 2^3$, $4 = 2^2$. Корень — это степень $1/n$. $( (2^3)^{x-3} )^{1/2} = ( (2^2)^{2-x} )^{1/3}$ Используем свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$: $2^{3(x-3)/2} = 2^{2(2-x)/3}$ Приравниваем показатели: $3(x-3)/2 = 2(2-x)/3$ Умножим крест-накрест: $9(x-3) = 4(2-x)$ $9x - 27 = 8 - 4x$ $9x + 4x = 8 + 27$ $13x = 35$ **Ответ: x = 35/13** ### в) $\sqrt{2^x} \cdot \sqrt{3^x} = 36$ Объединим корни: $\sqrt{2^x \cdot 3^x} = 36$ $\sqrt{6^x} = 36$ Возведем обе части в квадрат: $6^x = 36^2$ Так как $36 = 6^2$, то: $6^x = (6^2)^2$ $6^x = 6^4$ **Ответ: x = 4** ### г) $(3/7)^{3x+1} = (7/3)^{5x-3}$ Перевернем вторую дробь, чтобы основания стали одинаковыми. Для этого заменим показатель на противоположный: $(3/7)^{3x+1} = (3/7)^{-(5x-3)}$ $(3/7)^{3x+1} = (3/7)^{-5x+3}$ Приравниваем показатели: $3x + 1 = -5x + 3$ $3x + 5x = 3 - 1$ $8x = 2$ $x = 2/8 = 1/4$ **Ответ: x = 0,25**