Вычислите значение выражения (1/16)^-1/4 * (1/27)^-1/3 / 6^5

Привет! Давай разберем задания из твоей контрольной работы. **1. Вычислите значение выражения $\frac{(\frac{1}{16})^{-1/4} (\frac{1}{27})^{-1/3}}{6^5}$** $(\frac{1}{16})^{-1/4} = 16^{1/4} = (2^4)^{1/4} = 2^1 = 2$ $(\frac{1}{27})^{-1/3} = 27^{1/3} = (3^3)^{1/3} = 3^1 = 3$ $\frac{2 \cdot 3}{6^5} = \frac{6}{6^5} = 6^{-4} = \frac{1}{1296}$ **2. Решите уравнение $\log_5(3 - 2x) = 2$** $3 - 2x = 5^2$ $3 - 2x = 25$ $-2x = 22$ $x = -11$ **3. Упростите выражение $49^{1 - 0,5 \log_7 14}$** $49^1 \cdot 49^{-0,5 \log_7 14} = 49 \cdot (7^2)^{-0,5 \log_7 14} = 49 \cdot 7^{-\log_7 14} = 49 \cdot 7^{\log_7 (14^{-1})} = 49 \cdot 14^{-1} = \frac{49}{14} = 3,5$ **4. Найдите первообразную функции $f(x) = x^2 - 5$, график которой проходит через точку $A(3; 4)$** $F(x) = \int (x^2 - 5) dx = \frac{x^3}{3} - 5x + C$ $4 = \frac{3^3}{3} - 5 \cdot 3 + C$ $4 = 9 - 15 + C$ $4 = -6 + C$ $C = 10$ $F(x) = \frac{x^3}{3} - 5x + 10$ **5. Решите уравнение $\sqrt{2x + 3} = 6 - x$** Возведем в квадрат (при условии $6 - x \ge 0$, т.е. $x \le 6$): $2x + 3 = (6 - x)^2$ $2x + 3 = 36 - 12x + x^2$ $x^2 - 14x + 33 = 0$ Корни по теореме Виета: $x_1 = 3, x_2 = 11$. Проверка: $x = 11$ не подходит, так как $6 - 11 = -5 < 0$. Проверка $x = 3$: $\sqrt{6 + 3} = 3$, $6 - 3 = 3$. Верно. Ответ: 3. **6. Решите неравенство $\log_{0,3}(4x - 15) \ge 0$** Так как основание $0,3 < 1$, знак неравенства меняется: $0 < 4x - 15 \le 0,3^0$ $4x - 15 > 0 \implies x > 3,75$ $4x - 15 \le 1 \implies 4x \le 16 \implies x \le 4$ Ответ: $(3,75; 4]$. **7. Найдите область определения функции $y = \sqrt{(\frac{2}{3})^{5x + 2} - \frac{9}{4}}$** $(\frac{2}{3})^{5x + 2} - \frac{9}{4} \ge 0$ $(\frac{2}{3})^{5x + 2} \ge (\frac{2}{3})^{-2}$ Так как основание $< 1$, знак меняется: $5x + 2 \le -2$ $5x \le -4$ $x \le -0,8$ **8. Найдите значение $f'(1)$, если $f(x) = \frac{x - 2}{3 - 2x}$** $f'(x) = \frac{(x - 2)'(3 - 2x) - (x - 2)(3 - 2x)'}{(3 - 2x)^2}$ $f'(x) = \frac{1 \cdot (3 - 2x) - (x - 2) \cdot (-2)}{(3 - 2x)^2}$ $f'(x) = \frac{3 - 2x + 2x - 4}{(3 - 2x)^2} = \frac{-1}{(3 - 2x)^2}$ $f'(1) = \frac{-1}{(3 - 2 \cdot 1)^2} = \frac{-1}{1^2} = -1$.