Решите уравнения (164—168).

Давай разберем уравнения, вводя замену переменной $t = \sin x$ (или $t = \cos x$), где $|t| \le 1$. ### 164. Решите уравнения: **а) $2 \sin^2 x + \sin x - 1 = 0$** Пусть $\sin x = t$. Тогда $2t^2 + t - 1 = 0$. Дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 9$. $t_1 = \frac{-1 + 3}{4} = 0.5$; $t_2 = \frac{-1 - 3}{4} = -1$. 1) $\sin x = 0.5 \Rightarrow x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$. 2) $\sin x = -1 \Rightarrow x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$. **б) $3 \sin^2 x - 5 \sin x - 2 = 0$** Пусть $\sin x = t$. $3t^2 - 5t - 2 = 0$. $D = 25 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 49$. $t_1 = \frac{5 + 7}{6} = 2$ (не подходит, $|\sin x| \le 1$); $t_2 = \frac{5 - 7}{6} = -\frac{1}{3}$. $\sin x = -\frac{1}{3} \Rightarrow x = (-1)^{n+1} \arcsin \frac{1}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$. **в) $2 \sin^2 x - \sin x - 1 = 0$** Пусть $\sin x = t$. $2t^2 - t - 1 = 0$. $D = 1 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 9$. $t_1 = \frac{1 + 3}{4} = 1$; $t_2 = \frac{1 - 3}{4} = -0.5$. 1) $\sin x = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$. 2) $\sin x = -0.5 \Rightarrow x = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$. **г) $4 \sin^2 x + 11 \sin x - 3 = 0$** Пусть $\sin x = t$. $4t^2 + 11t - 3 = 0$. $D = 121 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 169$. $t_1 = \frac{-11 + 13}{8} = 0.25$; $t_2 = \frac{-11 - 13}{8} = -3$ (не подходит). $\sin x = 0.25 \Rightarrow x = (-1)^n \arcsin 0.25 + \pi n, n \in \mathbb{Z}$. ### 165. Решите уравнения: **а) $6 \cos^2 x + \cos x - 1 = 0$** Пусть $\cos x = t$. $6t^2 + t - 1 = 0$. $D = 1 - 4 \cdot 6 \cdot (-1) = 25$. $t_1 = \frac{-1 + 5}{12} = \frac{1}{3}$; $t_2 = \frac{-1 - 5}{12} = -0.5$. 1) $\cos x = \frac{1}{3} \Rightarrow x = \pm \arccos \frac{1}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$. 2) $\cos x = -0.5 \Rightarrow x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$. **б) $2 \sin^2 x + 3 \cos x = 0$** Используем $2(1 - \cos^2 x) + 3 \cos x = 0 \Rightarrow -2 \cos^2 x + 3 \cos x + 2 = 0 \Rightarrow 2 \cos^2 x - 3 \cos x - 2 = 0$. Пусть $\cos x = t$. $2t^2 - 3t - 2 = 0$. $D = 9 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 25$. $t_1 = \frac{3 + 5}{4} = 2$ (не подходит); $t_2 = \frac{3 - 5}{4} = -0.5$. $\cos x = -0.5 \Rightarrow x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$. **в) $4 \cos^2 x - 8 \cos x + 3 = 0$** Пусть $\cos x = t$. $4t^2 - 8t + 3 = 0$. $D = 64 - 4 \cdot 4 \cdot 3 = 16$. $t_1 = \frac{8 + 4}{8} = 1.5$ (не подходит); $t_2 = \frac{8 - 4}{8} = 0.5$. $\cos x = 0.5 \Rightarrow x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$. **г) $5 \sin^2 x + 6 \cos x - 6 = 0$** $5(1 - \cos^2 x) + 6 \cos x - 6 = 0 \Rightarrow -5 \cos^2 x + 6 \cos x - 1 = 0 \Rightarrow 5 \cos^2 x - 6 \cos x + 1 = 0$. Пусть $\cos x = t$. $5t^2 - 6t + 1 = 0$. $D = 36 - 4 \cdot 5 \cdot 1 = 16$. $t_1 = \frac{6 + 4}{10} = 1$; $t_2 = \frac{6 - 4}{10} = 0.2$. 1) $\cos x = 1 \Rightarrow x = 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$. 2) $\cos x = 0.2 \Rightarrow x = \pm \arccos 0.2 + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$. ### 166. Решите уравнения: **а) $2 \cos^2 x + \sin x + 1 = 0$** $2(1 - \sin^2 x) + \sin x + 1 = 0 \Rightarrow -2 \sin^2 x + \sin x + 3 = 0 \Rightarrow 2 \sin^2 x - \sin x - 3 = 0$. Пусть $\sin x = t$. $2t^2 - t - 3 = 0$. $D = 1 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25$. $t_1 = \frac{1 + 5}{4} = 1.5$ (не подходит); $t_2 = \frac{1 - 5}{4} = -1$. $\sin x = -1 \Rightarrow x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$. **б) $\cos^2 x + 3 \sin x = 3$** $(1 - \sin^2 x) + 3 \sin x - 3 = 0 \Rightarrow -\sin^2 x + 3 \sin x - 2 = 0 \Rightarrow \sin^2 x - 3 \sin x + 2 = 0$. Пусть $\sin x = t$. $t^2 - 3t + 2 = 0$. Корни по теореме Виета: $t_1 = 1, t_2 = 2$ (не подходит). $\sin x = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$. **в) $4 \cos x = 4 - \sin^2 x$** $4 \cos x = 4 - (1 - \cos^2 x) \Rightarrow \cos^2 x - 4 \cos x + 3 = 0$. Пусть $\cos x = t$. $t^2 - 4t + 3 = 0$. Корни: $t_1 = 3$ (не подходит), $t_2 = 1$. $\cos x = 1 \Rightarrow x = 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$. **г) $8 \sin^2 x + \cos x + 1 = 0$** $8(1 - \cos^2 x) + \cos x + 1 = 0 \Rightarrow -8 \cos^2 x + \cos x + 9 = 0 \Rightarrow 8 \cos^2 x - \cos x - 9 = 0$. Пусть $\cos x = t$. $8t^2 - t - 9 = 0$. $D = 1 - 4 \cdot 8 \cdot (-9) = 1 + 288 = 289 = 17^2$. $t_1 = \frac{1 + 17}{16} = 1.125$ (не подходит); $t_2 = \frac{1 - 17}{16} = -1$. $\cos x = -1 \Rightarrow x = \pi + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.