1.Решить уравнение $\sqrt{x} + \sqrt[4]{x} - 2 = 0$.

Привет! Давай разберем задания из твоей экзаменационной работы по алгебре. ### 1. Решение уравнения $\sqrt{x} + \sqrt[4]{x} - 2 = 0$ Пусть $\sqrt[4]{x} = t$, где $t \ge 0$. Тогда $\sqrt{x} = t^2$. Получаем уравнение: $t^2 + t - 2 = 0$. По теореме Виета корни: $t_1 = 1$, $t_2 = -2$. Так как $t \ge 0$, подходит только $t = 1$. $\sqrt[4]{x} = 1 \Rightarrow x = 1^4 = 1$. **Ответ: 1.** ### 2. Решение неравенства $\frac{x^2+2x-15}{x-4} > 1$ Перенесем 1 влево: $\frac{x^2+2x-15 - (x-4)}{x-4} > 0 \Rightarrow \frac{x^2+x-11}{x-4} > 0$. Корни числителя $x^2+x-11=0$: $D = 1 - 4(-11) = 45$, $x = \frac{-1 \pm 3\sqrt{5}}{2}$. Корни знаменателя: $x = 4$. Интервалы: $(\frac{-1-3\sqrt{5}}{2}; \frac{-1+3\sqrt{5}}{2}) \cup (4; +\infty)$. **Ответ: $(\frac{-1-3\sqrt{5}}{2}; \frac{-1+3\sqrt{5}}{2}) \cup (4; +\infty)$.** ### 3. Решение уравнения $4 \sin 2x - 3 \sin (2x - \frac{\pi}{2}) = 5$ Используем формулу приведения $\sin(2x - \frac{\pi}{2}) = -\cos 2x$. $4 \sin 2x - 3(-\cos 2x) = 5 \Rightarrow 4 \sin 2x + 3 \cos 2x = 5$. Разделим на $\sqrt{4^2+3^2} = 5$: $\frac{4}{5} \sin 2x + \frac{3}{5} \cos 2x = 1$. Пусть $\cos \alpha = \frac{4}{5}$, $\sin \alpha = \frac{3}{5}$. $\sin(2x + \alpha) = 1 \Rightarrow 2x + \alpha = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$. $2x = \frac{\pi}{2} - \arcsin(\frac{3}{5}) + 2\pi n \Rightarrow x = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}\arcsin(\frac{3}{5}) + \pi n$. **Ответ: $x = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}\arcsin(\frac{3}{5}) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.** ### 5. Решение уравнения $\log_{x^2}(6+2x-x^2) = \frac{1}{2}$ ОДЗ: $x^2 > 0, x^2 \neq 1, 6+2x-x^2 > 0$. Уравнение: $6+2x-x^2 = (x^2)^{1/2} = |x|$. Так как $x^2 > 0$, то $|x| = \sqrt{x^2}$. Уравнение: $6+2x-x^2 = \sqrt{x^2}$. Если $x > 0$, то $x^2 - x - 6 = 0 \Rightarrow x_1 = 3, x_2 = -2$ (не подходит). Если $x < 0$, то $x^2 + 3x - 6 = 0 \Rightarrow x = \frac{-3 \pm \sqrt{33}}{2}$. Только $x = \frac{-3-\sqrt{33}}{2}$ (отрицательное). **Ответ: $3; \frac{-3-\sqrt{33}}{2}$.**