Запишите числа 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9 в строку так, чтобы из любых двух соседних чисел одно делилось бы на другое.

### Задача 9 Нужно выстроить ряд чисел так, чтобы каждое следующее число делилось на предыдущее или наоборот. **Решение:** Попробуем выстроить цепочку: 9, 3, 6, 2, 4, 8, 1. - 9 делится на 3 - 6 делится на 3 - 6 делится на 2 - 4 делится на 2 - 8 делится на 4 - 1 делится на 8 (вернее 8 на 1) **Ответ:** 9, 3, 6, 2, 4, 8, 1 ### Задача 10 Пусть $S$ — сумма возрастов людей в комнате. Если войдет мама (возраст $M$), сумма станет $S+M = 4S$, откуда $M = 3S$. Если войдет папа (возраст $P$), сумма станет $S+P = 5S$, откуда $P = 4S$. Если войдут оба, новая сумма будет $S + M + P = S + 3S + 4S = 8S$. Суммарный возраст увеличится в 8 раз. **Ответ:** в 8 раз. ### Задача 11 Пусть $x$ — количество рыцарей среди 10 человек. Тогда $10-x$ — количество лжецов. Рыцари всегда говорят правду, лжецы — всегда лгут. Рассмотрим три варианта ответов: 1. 5 человек сказали «Рыцарей». Если это рыцари, то их должно быть больше лжецов ($x > 10-x \Rightarrow x > 5$). 2. 3 человека сказали «Лжецов». Если это рыцари, то их должно быть меньше ($x < 5$). 3. 2 человека сказали «Поровну». Если это рыцари, то $x = 5$. Если рыцарей 5, то 2 человека (кто сказал «Поровну») сказали правду, значит они рыцари. Но это противоречит условию, что рыцарей 5. Если рыцарей больше 5, например 6, то те, кто сказал «Рыцарей», говорят правду. Их 5 человек (рыцари). Но тогда должен быть еще хотя бы один рыцарь, который тоже сказал «Рыцарей». Противоречие. Если рыцарей меньше 5, например 4, то правду сказали те, кто ответил «Лжецов» (их 3). Рыцарей всего 4, значит один из них тоже сказал «Лжецов». Это возможно. **Ответ:** 4 рыцаря. ### Задача 12 В квадрате 5x5 всего 25 клеток. Покрасим 8 клеток. У каждой покрашенной клетки должно быть по 3 непокрашенных соседа. Это означает, что для каждой покрашенной клетки сумма её «соседей-непокрашенных» равна 3. Это невозможно реализовать для 8 клеток в сетке 5x5, так как соседство — отношение взаимное и плотность покраски приведет к конфликту условий. **Ответ:** Нет, нельзя. ### Задача 13 Пусть число $\overline{abcd}$. Записаны суммы пар: $a+b$, $b+c$, $c+d$. Всего 4 числа? Но в условии сказано «6 чисел». Вероятно, речь о парах соседних цифр, но их в 4-значном числе всего 3. Если Петя записал все возможные суммы пар цифр (соседних), то их 3. Возможно, он записал суммы для всех пар (6 пар: $ab, ac, ad, bc, bd, cd$)? Если $a, b, c, d$ — цифры, то сумма всех этих пар равна $3(a+b+c+d)$. Это число должно делиться на 3. 71 на 3 не делится. **Ответ:** Нет, не могла. ### Задача 14 В турнире 18 команд. Каждая сыграла по 17 матчей. Всего сыграно $18 \times 17 / 2 = 153$ матча. Максимальное количество очков у победителя — 51 (17 побед). Если все набрали разное количество очков, то суммы должны быть от 0 до 17 (всего 18 вариантов). Но суммы очков в футболе не могут быть любыми (например, нельзя набрать 1 очко, сыграв все матчи). При 49 очках у команды второе место: 16 побед и 1 ничья (16*3 + 1 = 49). Это возможно. **Ответ:** Да, могла.